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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀课后作业题，文件包含人教A版高中数学必修第一册培优讲义+题型检测专题43指数函数-重难点题型精讲原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册培优讲义+题型检测专题43指数函数-重难点题型精讲含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1．指数函数的定义
(1)一般地，函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)解析式的结构特征：
① SKIPIF 1 < 0 的系数为1;
②底数a是大于0且不等于1的常数.
2．指数函数的图象与性质
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0y轴.
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
4．比较幂值大小的方法
比较幂值大小的方法：
【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】
【方法点拨】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（ ）
A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R
【解题思路】由指数函数的性质可得其定义域．
【解答过程】解：函数f（x）＝2x的定义域为R，
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（ ）
A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）
【解题思路】本题可利用指数函数的值域．
【解答过程】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，
∴20＝1，
∴0＜y≤1．
∴函数的值域为（0，1]．
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（ ）
A．4B．8C．16D．1
【解题思路】设出指数函数y＝f（x）的解析式，把点的坐标代入求出解析式，再计算f（3）的值．
【解答过程】解：设指数函数y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1；
由f（x）的图象过点（2，4），
即a2＝4，解得a＝2；
所以f（x）＝2x，
所以f（3）＝23＝8．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2
【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组，求出a的值．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，
∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1
解得a＝3．
故选：B．
【题型2 比较幂值的大小】
【方法点拨】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.
【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【解题思路】根据指数函数的图象和性质，比较三个数的大小，可得答案．
【解答过程】解：∵y＝0.3x为减函数，2＞1.5＞0，
故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1，
∵y＝2x为增函数，0.3＞0，
故c＝20.3＞20＝1，
故c＞b＞a，
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（ ）
A．0.62.5＞0.63B．1.71.7
C．1.11.5＜0.72.1D．23
【解题思路】利用指数函数和幂函数的单调性求解．
【解答过程】解：对于选项A：∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且2.5＜3，∴0.62.5＞0.63，故选项A正确，
对于选项B：∵指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且，∵，故选项B错误，
对于选项C：∵1.11.5＞1.10＝1，0＜0.72.1＜0.70＝1，∴1.11.5＞0.72.1，故选项C错误，
对于选项D：∵23＝8，32＝9，∴，故选项D错误，
故选：A．
【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【解题思路】利用指数函数的性质求解．
【解答过程】解：∵0＜0.60.7＜0.60.6＜0.60＝1，∴0＜b＜a＜1，
∵1.50.6＞1.50＝1，∴c＞1，
∴c＞a＞b，
故选：D．
【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a＝0.3﹣0.2，，c＝3﹣0.2，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可．
【解答过程】解：∵0.3﹣0.2＞0.30＝1，∴a＞1，
∵，∴b＜c＜1，
∴b＜c＜a，
故选：D．
【题型3 解指数不等式】
【方法点拨】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式，可借助函数y= SKIPIF 1 < 0 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0(2)隐含性质法：解形如 SKIPIF 1 < 0 >b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的
单调性求解.
(3)图象法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）
【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式．
【解答过程】解：因为0＜a＜1，
所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，
解得：x＜2，
所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是：（﹣∞，2）．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，4）B．（﹣∞，﹣2）
C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【解题思路】由指数函数的性质，把等价转化为x2﹣8＜2x，由此能求出不等式的解集．
【解答过程】解：∵，
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．R
【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．
【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函数y＝ax为R上的减函数，
由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
解得x，
故选：A．
【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）．
（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；
（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），构造方程，可得函数y＝f（x）的解析式；
（ II）利用指数函数的单调性，可将f（2x+1）＞1化为：2x+1＜0，解得答案．
【解答过程】
解：（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），
所以
所以指数函数的解析式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（2x+1）＞1等价于
因为函数在R上单调递减，
所以2x+1＜0，解得
综上，x的取值范围是．
【题型4 指数函数的图象及应用】
【方法点拨】
①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于
从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像情况，即可得出答案．
【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（1）所示：
当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示：
只有选项B满足题意．
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c
【解题思路】由题意，做出直线x＝1，结合图象可得结论．
【解答过程】解：对于指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象，
做出直线x＝1，结合图象可得，
直线x＝1和指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx 的图象的交点的纵坐标分别为a、b、c，且c＞a＞b，
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．a＜b＜1＜d＜cD．1＜a＜b＜c＜d
【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．
【解答过程】解：作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
由图象可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，
故选：B．
【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】直接根据函数的图象和函数的单调性判断即可．
【解答过程】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，
当底数a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，
当底数a＞1，满足底数越大函数的图象在x＞0时，越靠近y轴，
则③是对应函数y＝3x的图象，④是对应函数y＝2x的图象，
根据对称性，①是对应函数y的图象，∴②不是．
故选：B．
【题型5 指数型复合函数性质的应用】
【方法点拨】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．
【解题思路】（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．代入计算即可求a的值．
（2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可．
【解答过程】解：（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
则有：
解得：．
（2）由（1）可知，
那么：函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+898
∵x∈[﹣2，1]
∴
则f（x）98
当，即x＝﹣2时，f（x）max＝8．
当， f（x）min
所以函数的值域为[，8]．
【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f（x）＝（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．
【解题思路】（1）根据f（3），求出a的值即可；（2）根据指数函数的性质求出x的范围即可．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝（）10﹣ax，
由f（3），得：，
得：3a﹣10＝﹣4，解得：a＝2；
（2）由（1）f（x）＝22x﹣10，
由f（x）≥4，得：22x﹣10≥22，
故2x﹣10≥2，解得：x≥6．
【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
【解题思路】（1）将点（1，2）的坐标代入函数f（x）的解析式即可求出a的值；
（2）由f（x）≥2x化简得到2x﹣1≤1，再利用指数函数的单调性即可求出x的范围．
【解答过程】解：（1）由已知条件可得f（1）＝20+a＝1+a＝2，解得a＝1；
（2）由，得，即2x﹣1≤1＝20，即x﹣1≤0，解得x≤1，
因此，实数x的取值范围是（﹣∞，1]．
【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围．
【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0），
又注意到a＞1，
∴，解得，
故函数f（x）的解析式为．
（Ⅱ）因为由（I）知对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
即，亦即对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*）
又易知函数在（﹣∞，2]上单调递增，
所以根据（*）可得，
故所求实数c的取值范围．
【题型6 指数函数的实际应用】
【方法点拨】
从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【解题思路】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
【解答过程】解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，
故；
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：，
含第二次服药量为：，
所以此时两次服药剩余的量为，
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.
【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h
（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；
（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.
【解题思路】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h，即可得出函数解析式；
（2）x＝30°时，y＝192•（），x＝16°时，y＝192•（），运用解析式求解即可
【解答过程】解：（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则有，
∴，
∴y＝192•（）．x≥0．
（2）x＝30°时，y＝192•（），
x＝16°时，y＝192•（）90．
【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．
（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（1.009）
【解题思路】（I）由于人口的年自然增长率为1.2%，由此即可得出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（II）可直接设年人口自然增长率为p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增长率
【解答过程】解：（I）x年后y＝50（1+1.2%）x．
（II）设年人口自然增长率为p，因此有50（1+p）20＝60，
即（1+p）20＝1.2．时 解得．于是p＝0.009．
即人口年自然增长率为0.9%．
【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
【解题思路】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．
（3）构造不等式f（t）≥0.5，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.5微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．
【解答过程】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k＝4，
其解析式为y＝4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4，解得a＝3；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即
∴．
答：（1）k＝4，a＝3；（2）函数关系式为；（3）服药一次治疗有效的时间范围为．
1．指数函数的定义
(1)一般地，函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)解析式的结构特征：
① SKIPIF 1 < 0 的系数为1;
②底数a是大于0且不等于1的常数.
2．指数函数的图象与性质
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
4．比较幂值大小的方法
比较幂值大小的方法：
【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】
【方法点拨】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（ ）
A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R
【解题思路】由指数函数的性质可得其定义域．
【解答过程】解：函数f（x）＝2x的定义域为R，
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（ ）
A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）
【解题思路】本题可利用指数函数的值域．
【解答过程】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，
∴20＝1，
∴0＜y≤1．
∴函数的值域为（0，1]．
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（ ）
A．4B．8C．16D．1
【解题思路】设出指数函数y＝f（x）的解析式，把点的坐标代入求出解析式，再计算f（3）的值．
【解答过程】解：设指数函数y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1；
由f（x）的图象过点（2，4），
即a2＝4，解得a＝2；
所以f（x）＝2x，
所以f（3）＝23＝8．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2
【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组，求出a的值．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，
∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1
解得a＝3．
故选：B．
【题型2 比较幂值的大小】
【方法点拨】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.
【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【解题思路】根据指数函数的图象和性质，比较三个数的大小，可得答案．
【解答过程】解：∵y＝0.3x为减函数，2＞1.5＞0，
故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1，
∵y＝2x为增函数，0.3＞0，
故c＝20.3＞20＝1，
故c＞b＞a，
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（ ）
A．0.62.5＞0.63B．1.71.7
C．1.11.5＜0.72.1D．23
【解题思路】利用指数函数和幂函数的单调性求解．
【解答过程】解：对于选项A：∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且2.5＜3，∴0.62.5＞0.63，故选项A正确，
对于选项B：∵指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且，∵，故选项B错误，
对于选项C：∵1.11.5＞1.10＝1，0＜0.72.1＜0.70＝1，∴1.11.5＞0.72.1，故选项C错误，
对于选项D：∵23＝8，32＝9，∴，故选项D错误，
故选：A．
【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【解题思路】利用指数函数的性质求解．
【解答过程】解：∵0＜0.60.7＜0.60.6＜0.60＝1，∴0＜b＜a＜1，
∵1.50.6＞1.50＝1，∴c＞1，
∴c＞a＞b，
故选：D．
【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a＝0.3﹣0.2，，c＝3﹣0.2，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可．
【解答过程】解：∵0.3﹣0.2＞0.30＝1，∴a＞1，
∵，∴b＜c＜1，
∴b＜c＜a，
故选：D．
【题型3 解指数不等式】
【方法点拨】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式，可借助函数y= SKIPIF 1 < 0 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0
单调性求解.
(3)图象法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）
【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式．
【解答过程】解：因为0＜a＜1，
所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，
解得：x＜2，
所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是：（﹣∞，2）．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式的解集是（ ）
A．（﹣2，4）B．（﹣∞，﹣2）
C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【解题思路】由指数函数的性质，把等价转化为x2﹣8＜2x，由此能求出不等式的解集．
【解答过程】解：∵，
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．R
【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．
【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函数y＝ax为R上的减函数，
由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
解得x，
故选：A．
【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）．
（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；
（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），构造方程，可得函数y＝f（x）的解析式；
（ II）利用指数函数的单调性，可将f（2x+1）＞1化为：2x+1＜0，解得答案．
【解答过程】
解：（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），
所以
所以指数函数的解析式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（2x+1）＞1等价于
因为函数在R上单调递减，
所以2x+1＜0，解得
综上，x的取值范围是．
【题型4 指数函数的图象及应用】
【方法点拨】
①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于
从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像情况，即可得出答案．
【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（1）所示：
当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示：
只有选项B满足题意．
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c
【解题思路】由题意，做出直线x＝1，结合图象可得结论．
【解答过程】解：对于指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象，
做出直线x＝1，结合图象可得，
直线x＝1和指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx 的图象的交点的纵坐标分别为a、b、c，且c＞a＞b，
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．a＜b＜1＜d＜cD．1＜a＜b＜c＜d
【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．
【解答过程】解：作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
由图象可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，
故选：B．
【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】直接根据函数的图象和函数的单调性判断即可．
【解答过程】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，
当底数a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，
当底数a＞1，满足底数越大函数的图象在x＞0时，越靠近y轴，
则③是对应函数y＝3x的图象，④是对应函数y＝2x的图象，
根据对称性，①是对应函数y的图象，∴②不是．
故选：B．
【题型5 指数型复合函数性质的应用】
【方法点拨】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．
【解题思路】（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．代入计算即可求a的值．
（2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可．
【解答过程】解：（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．
则有：
解得：．
（2）由（1）可知，
那么：函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+898
∵x∈[﹣2，1]
∴
则f（x）98
当，即x＝﹣2时，f（x）max＝8．
当， f（x）min
所以函数的值域为[，8]．
【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f（x）＝（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．
【解题思路】（1）根据f（3），求出a的值即可；（2）根据指数函数的性质求出x的范围即可．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝（）10﹣ax，
由f（3），得：，
得：3a﹣10＝﹣4，解得：a＝2；
（2）由（1）f（x）＝22x﹣10，
由f（x）≥4，得：22x﹣10≥22，
故2x﹣10≥2，解得：x≥6．
【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
【解题思路】（1）将点（1，2）的坐标代入函数f（x）的解析式即可求出a的值；
（2）由f（x）≥2x化简得到2x﹣1≤1，再利用指数函数的单调性即可求出x的范围．
【解答过程】解：（1）由已知条件可得f（1）＝20+a＝1+a＝2，解得a＝1；
（2）由，得，即2x﹣1≤1＝20，即x﹣1≤0，解得x≤1，
因此，实数x的取值范围是（﹣∞，1]．
【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围．
【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0），
又注意到a＞1，
∴，解得，
故函数f（x）的解析式为．
（Ⅱ）因为由（I）知对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
即，亦即对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*）
又易知函数在（﹣∞，2]上单调递增，
所以根据（*）可得，
故所求实数c的取值范围．
【题型6 指数函数的实际应用】
【方法点拨】
从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【解题思路】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
【解答过程】解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，
故；
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：，
含第二次服药量为：，
所以此时两次服药剩余的量为，
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.
【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h
（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；
（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.
【解题思路】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h，即可得出函数解析式；
（2）x＝30°时，y＝192•（），x＝16°时，y＝192•（），运用解析式求解即可
【解答过程】解：（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则有，
∴，
∴y＝192•（）．x≥0．
（2）x＝30°时，y＝192•（），
x＝16°时，y＝192•（）90．
【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．
（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（1.009）
【解题思路】（I）由于人口的年自然增长率为1.2%，由此即可得出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（II）可直接设年人口自然增长率为p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增长率
【解答过程】解：（I）x年后y＝50（1+1.2%）x．
（II）设年人口自然增长率为p，因此有50（1+p）20＝60，
即（1+p）20＝1.2．时 解得．于是p＝0.009．
即人口年自然增长率为0.9%．
【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
【解题思路】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．
（3）构造不等式f（t）≥0.5，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.5微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．
【解答过程】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k＝4，
其解析式为y＝4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4，解得a＝3；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即
∴．
答：（1）k＝4，a＝3；（2）函数关系式为；（3）服药一次治疗有效的时间范围为．
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