人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时导学案，共18页。


等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时)
Sn＝d2n2＋a1-d2n．
反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
根据公式能否求出等差数列前n项和的最大值或最小值？
知识点1 等差数列前n项和的函数特征
知识点2 等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．
－1 [∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．]
2．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最____________(填“大”或“小”)值为____________．
大 26 [由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值．
由an=14-3n≥0，an+1=14-3n+1≤0，得n＝4，
则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26．]
类型1 等差数列前n项和最值问题的判断
【例1】 (多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是( )
A．若S3＝S11，则必有S14＝0
B．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C．若S7>S8，则必有S8>S9
D．若S7>S8，则必有S6>S8
ABC [根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，
S14＝14a1+a142＝7(a7＋a8)＝0，A正确；
根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是3+112＝7，且d<0，那么S7是最大值，B正确；
若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9，C正确；
S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符号不确定，D错误．故选ABC．]
一般地，在等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝p+q2时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝p+q-12或n＝p+q+12时，Sn最大．
[跟进训练]
1．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
ABD [∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0．
∴d<0．
∴S6与S7圴为Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0．
∴S9 类型2 等差数列前n项和Sn的最大(小)值
【例2】 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前多少项和最大？
[思路引导] (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．
[解] (1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n．
故{an}的通项公式为an＝34－2n．
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，
由Sn的结构特征知d2=-1，a1-d2 =33，
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．
(2)法一(公式法)：令an≥0，an+1≤0，即34-2n≥0，32-2n≤0，所以16≤n≤17．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝332，
距离332最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，又a17＝0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
[母题探究]
(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
[解] 法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋99-12d
＝17×25＋1717-12d，
解得d＝－2．
∴Sn＝25n＋nn-12×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法二：同法一，求出公差d＝－2．
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27．
∵a1＝25>0，
由an=-2n+27≥0，an+1=-2n+1+27≤0，
得n≤1312，n≥1212，
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
由等差数列的性质得a13＋a14＝0．
∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝9+172＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169．
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用an≥0，an+1≤0或an≤0，an+1≥0来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
[跟进训练]
2．(源于人教B版教材)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，
(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
[解] (1)当n＝1时，有a1＝S1＝－28．
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．
又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立，因此数列的通项公式为an＝4n－32.
因为an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4，
所以{an}是等差数列．
(2)法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝2n-1522－2252，
又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112.
法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28<0.
令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0.
由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是8×-28+02＝－112.
类型3 等差数列求和的实际应用
【例3】 7月份，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？
[解] (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由题意知ak=3+3k-1，ak-231-k=3，解得k=13，ak=39，
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝3n，1≤n≤13，65-2n，14≤n≤31，
∴Sn＝3+3nn2，1≤n≤13，273+51-nn-13，14≤n≤31.
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)．
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
[跟进训练]
3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×-13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，
∴在24小时内能构筑成第二道防线．
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B．53
C．2 D．3
C [设{an}的公差为d，首项为a1，
由题意得3a1+3×22d=6，a1+2d=4，解得a1=0，d=2.]
2．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．5或6 D．11
C [由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，
所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]
3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
B [由数列{an}的通项公式an＝43－3n，可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝n40+43-3n2＝－32n2＋832n.
考虑函数y＝－32x2＋832x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝836.
又n为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14.]
4．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有________个座位．
270 [从第1排开始每排座位数形成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.
∴该电影院共有10×18+362＝270个座位．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？
[提示] ①通项法：
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，
其中n可用不等式组an≥0，an+1≤0来确定；
若a1＜0，d＞0，
则Sn必有最小值，其中n可用不等式组an≤0，an+1≥0来确定．
②二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1-d2n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．
③图象法：借助二次函数的图象的对称性来求解．
(2)应用等差数列解决实际问题的一般思路是什么？
[提示]
课时分层作业(六) 等差数列前n项和的最值及应用
一、选择题
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
D [∵a1＝24>0，d＝－2<0，
且a13＝0，∴S12＝S13，∴n＝12或13时，Sn取最大值．故选D.]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－72，则Sn取得最大值时n的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [∵a1＝10，d＝－72，
∴Sn＝10n＋nn-12×-72＝－74n2＋474n.
∵n∈N*，抛物线y＝－74x2＋474x的对称轴为直线x＝4714，且开口向下，
∴当n＝3时，Sn取得最大值为392.故选A.]
3．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝nn+12.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]
4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为( )
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
B [由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{an}，Sn是其前n项和，则S9＝9a1+a92＝9a5＝85.5(尺)，所以a5＝9.5(尺)，由题知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5(尺)，所以a4＝10.5(尺)，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5(尺)．故选B.]
5．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )
A．a10＝0 B．S7＝S12
C．S10最小 D．S20＝0
AB [因为{an}是等差数列，设公差为d，由a1＋5a3＝S8，可得a1＋9d＝0，即a10＝0，即选项A正确；又S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，即选项B正确；当d>0时，则S9或S10最小，当d<0时，则S9或S10最大，即选项C错误；又因为S19＝19a10＝0，a20≠0，所以S20≠0，即选项D错误．故选AB.]
二、填空题
6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
8 [∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.
故前8项的和最大．]
7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是________．
-1，-78 [由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，
可知d<0，a8>0，a9<0，即d<0，7+7d>0，7+8d<0，
解得－18．在等差数列{an}中，a3＋a10＝5，a7＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为________．
70 [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
则2a1+11d=5，a1+6d=1，解得a1=19，d=-3，
所以Sn＝na1＋nn-12d＝－32n2＋412n.
因为二次函数y＝－32x2＋412x图象的对称轴为直线x＝416，n∈N*，
所以当n＝7时，(Sn)max＝70.]
三、解答题
9．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
[解] 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…，
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由题知，20个月贷款还清．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝60+60-19×0.52×20＝1 105(元)，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
10．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝( )
A．35 B．32
C．23 D．38
A [由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.
故S9＝9a1＋9×82d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.]
11．(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
ABD [显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．
又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．
而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．]
12．(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则( )
A．d＞0
B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值
D．S5＞S6
BC [因为Sn＝na1＋nn-12d，所以Sn＝d2n2＋a1-d2n，
则Sn是关于n(n∈N*，n≠0)的一个二次函数，又a1＞0且S6＝S9，
对称轴n＝6+92＝152，开口向下，则d<0，故A错误；
又n为整数，所以Sn在[1，7]上单调递增，在[8，＋∞)上单调递减，所以S5＜S6，故D错误；
所以最靠近152的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确；由题意知a7＋a8＋a9＝0，∴a8＝0，故B正确．故选BC.]
13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米).]
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)该数列的前几项和最大？
[解] (1)由a3＝12，S12＞0，S13＜0，得
a1+2d=12，12a1+12×112d＞0，13a1+13×122d＜0，整理得a1+2d=12，12a1+66d＞0，13a1+78d＜0，
解得－247＜d＜－3.
故公差d的取值范围是-247，-3.
(2)法一：由题意可得d＜0，∴{an}为递减数列．由S12＞0，S13＜0，可知在1≤n≤12中，必存在自然数n，使得an≥0，an＋1＜0，此时对应的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
∵S12=6a6+a7＞0，S13=13a7＜0，∴a7＜0，a6＞0，∴前6项和最大．
法二：解关于n的不等式组
an=a3+n-3d≥0，an+1=a3+n-2d＜0，
得n≤3-12d，n＞2-12d.
由－247＜d＜－3，得n≤3－12d＜3＋123＝7，n＞2－12d＞2＋12247＝5.5.
∴5.5＜n＜7.∵n∈N*，∴n＝6.故当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大．
法三：Sn＝na1＋nn-12d＝n(12－2d)＋nn-12d＝d2n2＋12-52dn＝d2n-125-24d2－12-52 d22d.
由－247＜d＜－3，知6＜125-24d＜6.5，
∴当n＝6时，Sn最大，即前6项和最大．
15．在①an＋1－an＝－19，②an＋1＝an＋n－8这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝9，________，求{an}的通项公式，并判断Sn是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
[解] 若选①：因为an＋1－an＝－19，a1＝9，所以{an}是首项为9，公差为－19的等差数列．
所以an＝9＋(n－1)·-19＝－19n＋829.
由－19n＋829≥0，得n≤82，又a82＝0，
所以Sn存在最大值，且最大值为S81或S82，
因为S81＝81×9＋81×802×-19＝369，所以Sn的最大值为369.
若选②：因为an＋1＝an＋n－8，所以an＋1－an＝n－8，
所以a2－a1＝－7，a3－a2＝－6，…，an－an－1＝n－9，
以上(n－1)个等式等号两边分别相加得
an－a1＝-7+n-9n-12＝n2-17n+162，
因为a1＝9，所以an＝n2-17n+342(n≥2)，
又a1＝9也满足上式，
所以an＝n2-17n+342．
当n≥15时，an>0，故Sn不存在最大值．
学习任务
能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模)
等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程
Sn＝na1＋nn-12d，整理得Sn＝d2n2＋a1-d2n，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝d2x2＋a1-d2x(x∈R)当x＝n时的函数值
等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
令A＝d2，B＝a1－d2，则Sn＝An2＋Bn．
①当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列．
②当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列．
③当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0)