专题4.3 指数函数-重难点题型精讲 高中数学培优讲义练习（必修一）

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专题4.3 指数函数-重难点题型精讲1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：①的系数为1;②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质3．底数对指数函数图象的影响指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.(1)无论是a>1还是01时，a越大，图象越靠近y轴；0的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(13)x2−8＞3−2x的解集是（　　）A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，−15） B．（−15，+∞） C．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞） D．R【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12）．（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【题型4 指数函数的图象及应用】【方法点拨】①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（　　）A． B． C． D．【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（　　）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（　　）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(12)x的一个是（　　）A．① B．② C．③ D．④【题型5 指数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f（x）＝（12）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=116．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．（1）求a的值；（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式c⋅10x+6xf(x)+3＞0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．【题型6 指数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（201.2=1.009）【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？