数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀巩固练习

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1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【题型1 一元二次不等式的解法】
【方法点拨】
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2022春•阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（ ）
A．(−12，2)B．(−2，12)
C．(−∞，−2)∪(12，+∞)D．(−∞，−12)∪(2，+∞)
【变式1-1】（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（ ）
A．{x|−23≤x≤1}B．{x|−1≤x≤23}
C．{x|x≤−23或x≥1}D．{x|x≤−1或x≥23}
【变式1-2】（2022春•眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【变式1-3】（2022春•雨城区校级期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（ ）
A．{x|−52≤x≤3}B．{x|x≤−52或x≥3}
C．{x|−3≤x≤52}D．{x|x≤﹣3或x≥52}
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【方法点拨】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2022秋•兴平市校级月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x−1a）＞0．
【变式2-1】（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【变式2-2】（2021秋•和平区校级月考）解关于x的不等式x2﹣（a+1a）x+1＜0．
【变式2-3】（2021秋•高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．
【题型3 三个“二次”关系的应用】
【方法点拨】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【例3】（2022秋•哈尔滨月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集为（ ）
A．RB．∅C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【变式3-1】（2022春•赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则cb的值为（ ）
A．65B．−65C．56D．−56
【变式3-2】（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|−12＜x＜13}，则ax+b＞0的解集为（ ）
A．(−∞，−16)B．(−∞，16)C．(−16，+∞)D．(16，+∞)
【变式3-3】（2021秋•三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（ ）
A．{x|x＞3或x＜﹣2}B．{x|x＞2或x＜﹣3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}
【题型4 解简单的分式不等式】
【方法点拨】
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2022春•临夏县校级期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）x+1x−3≥0；
（4）5x+1x+1＜3．
【变式4-1】（2021秋•李沧区校级月考）解下列不等式并写出解集．
（1）﹣2x2+3x+9＞0；
（2）8−x5+x≥1．
【变式4-2】（2021秋•海淀区校级期末）求下列关于x的不等式的解集：
（1）5x−7≥−1；
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．
【变式4-3】（2022春•广安区校级月考）解不等式：
（1）4x2﹣15x+9＞0；
（2）2−xx+4＞1．
【题型5 一元二次不等式恒成立、存在性问题】
【方法点拨】
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0.))
【例5】（2021•西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．0≤k≤1B．0＜k≤1C．k＜0或k＞1D．k≤0或k≥1
【变式5-1】（2021秋•南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）B．（﹣2，2）
C．（﹣2，2]D．（﹣∞，2）
【变式5-2】（2022春•双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【变式5-3】（2022春•石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2]B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）
【题型6 一元二次不等式的实际应用】
【方法点拨】
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【例6】（2021秋•丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
则交通事故的主要责任方是 （填“甲”或“乙”）．
【变式6-1】（2021秋•峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是 台．
【变式6-2】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x−k+4500x)L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝ ，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为 ．
【变式6-3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．