2024版新教材高中数学第五章三角函数章末复习课导学案新人教A版必修第一册

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第五章 章末复习课　·　·考点一　三角函数求值1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例1　(1)若tan θ＝－2，则＝(　　)A．－ B. －C．D．(2)已知α，β∈(－)，tan α＝3，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)A．－ B．C．2 D．跟踪训练1　(1)计算的值为(　　)A．－1 B．1C．sin10° D．cos 10°(2)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　)A．θ的终边在第二象限B．cos θ＝－C．tan θ＝－D．sin θ·cos θ＝－考点二　三角函数的图象1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．例2　(1)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式可以是(　　)A.g(x)＝2cos B．g(x)＝2sin ()C．g(x)＝2sin ()D．g(x)＝2sin ()(2)函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为____________．跟踪训练2　(1)(多选)下图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)A．sin (2x＋) B．sin (－2x)C．cos (2x＋) D．cos (－2x)(2)已知函数f(x)＝2cos (2x－)，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝________．考点三　三角函数的性质1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例3　已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)＋1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x∈[0，]，求f(x)的最值．跟踪训练3　已知f(x)＝3sin (－2x＋)．(1)写出f(x)的最小正周期及f的值；(2)求f(x)的单调递增区间及对称轴．考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合1.利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．例4　设函数f(x)＝sin (2x＋)＋sin2x－cos2x－.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若x0∈[]且f＝，求cos2x0的值．跟踪训练4　已知a<0，b∈R，函数f(x)＝a sin2x＋a sinx cos x－a＋b.(1)若当x∈[0，]时，函数f(x)的值域为[－5，1]，求实数a，b的值；(2)在(1)条件下，求函数f(x)图象的对称中心和在(0，π)上的单调递减区间．章末复习课考点聚焦·分类突破例1　解析：(1)将式子进行齐次化处理得：＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.(2)因为α∈(－)，tanα＝3>0，故α∈(0，)，因为β∈(－)，故－<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－<0，故<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，故tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝1，所以tan (α－β)＝＝.故选B.答案：(1)C　(2)B跟踪训练1　解析：(1)因为00，cos θ<0，所以A正确；由sin θ＋cos θ＝－和sin θcos θ＝－，解得sin θ＝，cos θ＝－，所以B错误；由sin θ＝，cos θ＝－，得tan θ＝＝＝－，所以C正确．故选ACD.答案：(1)B　(2)ACD例2　解析：(1)由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象可得：A＝2，T＝＝，可得T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin (2x＋φ)．∵函数f(x)图象过点(，2)，则f＝2sin (2×＋φ)＝2，即sin (＋φ)＝1，由φ∈(－)，可得＋φ∈(－)，故＋φ＝，解得φ＝，故f(x)＝2sin (2x＋)，将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到y＝2sin (x＋)，再向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin [(x＋)＋]＝2sin (x＋)．故选B.(2)当x∈[0，2]时，ωx＋∈[，2ω＋]，∵f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，∴2ω＋∈[)，∴ω∈[)．答案：(1)B　(2)[)跟踪训练2　解析：(1)由函数图象可知：＝＝，∴T＝π，则|ω|＝＝＝2，不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的解析式为：y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，故A正确；又sin (2x＋)＝sin (π＋2x－)＝－sin (2x－)，故B错误；又sin (2x＋)＝sin (2x＋)＝cos (2x＋)，故C正确；而cos (2x＋)＝cos (π＋2x－)＝－cos (2x－)＝－cos (－2x)，故D错误．故选AC.(2)f(x)＝2cos (2x－)的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x＋)＝2cos [2(x＋)－]＝2cos 2x的图象，y＝2cos 2x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2cos x的图象，∴g＝2cos ＝1.答案：(1)AC　(2)1例3　解析：(1)由最小正周期公式得：＝π，故ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1，所以f＝2sin (2×)＋1＝＋1.(2)令＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.(3)因为x∈[0，]，所以2x＋∈[]，当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最大值为3，当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最小值为－＋1.跟踪训练3　解析：(1)依题意，f(x)＝－3sin (2x－)，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，f＝－3sin (π－)＝－.(2)由(1)知f(x)＝－3sin (2x－)，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得：kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)；由2x－＝kπ－，k∈Z得，x＝，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝(k∈Z)．例4　解析：(1)依题意，因为f(x)＝sin (2x＋)＋sin2x－cos2x－＝sin2x cos ＋cos 2x sin cos 2x－＝sin 2x－cos 2x－＝sin (2x－)－，即f(x)＝sin (2x－)－，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)因为f(x0)＝，即f(x0)＝sin (2x0－)－＝，所以sin (2x0－)＝，因为x0∈[]，所以2x0－∈[，π]，所以cos (2x0－)＝－ ＝－，所以cos2x0＝cos [(2x0－)＋]＝cos (2x0－)cos －sin (2x0－)sin ＝－＝－.跟踪训练4　解析：(1)f(x)＝a sin2x＋a sinx cos x－a＋b(a<0)＝a·sin 2x－a＋b＝a sin (2x－)－a＋b，∵x∈[0，]，∴2x－∈[－]，∴sin (2x－)∈[－，1]，又∵a<0，∴a sin (2x－)∈[a，－]，因此f(x)∈[b，－a＋b]，∴，解得：.(2)由(1)知f(x)＝－4sin (2x－)－1，令2x－＝kπ(k∈Z)，整理得x＝(k∈Z)，∴f(x)的图象的对称中心为(，－1)(k∈Z)，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，整理得：kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)，所以f(x)在(0，π)上的单调递减区间为(0，)，(，π)．