人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系优质学案

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知识点01：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）写出集合的所有子集．
【答案】
【详解】集合的所有子集有：
知识点03：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A，因，，即，A正确；
对于B，因集合的元素为有序数对，而的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；
对于C，因集合与都表示大于2的数形成的集合，即，C正确；
对于D，由列举法表示集合知正确，D正确.
故选：B
知识点04：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）满足条件：的集合M的个数为______.
【答案】7
【详解】由可知，
M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数
因此M中的元素来自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件：的集合M的个数有7个，
故答案为：7.
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练4】（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）有下列四个命题：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确；
，故③正确，④错误，正确的个数为2.
故选：B
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·高三课时练习）已知集合，，，则、、的关系满足（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2023·高一单元测试）设集合，，则集合与的关系是______．
【变式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．C．D．
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合，则集合的真子集个数是（ ）
A．6B．7C．8D．15
【典例2】（2023·高一单元测试）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_____个.
【变式1】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数的取值集合为，则的一个真子集可以是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·高一课时练习）设，若用列举法表示，则集合是________.
【变式1】（多选）（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（ ）
A．B．C．D．
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（2023·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ）
A．1B．3C．4D．6
【变式1】（多选）（2023·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型05 空集的性质及应用
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是____.
【典例2】（2023·高一课时练习）不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【变式1】（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是______.
题型06 判断两个集合是否相等
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
题型07 根据两个集合相等求参数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则等于（ ）
A．1或2B．或C．2D．1
【典例2】（2023秋·广东广州·高一秀全中学校考期末）已知集合，.
(1)若，求实数的值；
【变式1】（2023秋·广东江门·高一统考期末）设，，，若P=Q，则_________.
.
题型08根据集合的包含关系求参数
【典例1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若，则实数（ ）
A．或1B．0或1C．1D．
【典例2】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，则实数的值是_________．
【典例3】（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求实数的取值范围.
【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____．
【变式2】（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．
题型09 新定义题
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）给定集合，对于，如果，那么是的一个“好元素”，由的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．
【典例2】（2023·高一课时练习）设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．
本节重点方法（数轴辅助法）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．
本节数学思想方法（分类讨论法）
【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合，，且，求实数的取值范围．
【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
本节易错题（忽略空集）
【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为___________.
1.2集合间的基本关系
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤
4．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
二、多选题
7．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有4个
8．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
三、填空题
9．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足则集合M的个数为______．
10．（2023·高一单元测试）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________.
四、解答题
11．（2023·高一课时练习）设集合，，且．
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，求实数的值．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|0B能力提升
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A．B．C．D．与互不包含
2．（2023·全国·高三专题练习）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
4．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．
5．（2023·全国·高三专题练习）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集
B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集
C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集
D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集
2．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若⊆，则对应的实数对有
A．对B．对C．对D．对
3．（多选）（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则
4．（2023·上海·高三专题练习）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.课程标准
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;
②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者