阶段专项提分练六　线段中点问题2023-2024北师大版数学七年级上册

阶段专项提分练六　线段中点问题

·类型一:单中点问题

典例1：如图,已知点C在线段AB上,线段AC=4,线段BC的长是线段AC长的两倍,点D是线段AB的中点,则线段CD的长是              (B)

A.1  B.2  C.3  D.4

变式1：已知线段AB,延长AB到C,使BC=AB,D为AC的中点,若AB=9 cm,则DC的长为　6 cm　. 

变式2：如图,点B,C把线段MN分成三部分,其比是MB∶BC∶CN=2∶3∶4,P是MN的中点,且MN=18 cm,求PC的长.

解析：设MB=2x,则BC=3x,CN=4x,

因为P是MN的中点,所以MP=MN=×(2x+3x+4x)=x=9.解得x=2,

所以PC=MC-MP=2x+3x-x=0.5x=1(cm).

·类型二:双中点问题

典例2：如图,线段AB=16,点C在线段AB上,M是AB的中点,N是AC的中点,若MN=3,则线段AC的长是              (C)

A.6  B.8  C.10 D.12

变式1：如图,已知点C为AB上一点,BC=12 cm,AC=CB,D,E分别为AC,AB的中点,则DE的长为              (D)

A.3 cm  B.4 cm  C.5 cm  D.6 cm

变式2：如图,点C是AB的中点,点D是BC的中点,现给出下列等式:

①CD=AC-DB,②CD=AB,③CD=AD-BC,④BD=2AD-AB.

其中正确的等式编号是 (B)

A.①②③④  B.①②③  C.②③④  D.②③

·类型三:中点问题规律探究

典例3：(1)如图,已知点C在线段AB上,AC=8 cm,BC=6 cm,M,N分别是AC,BC的中点,求线段MN的长度;

(2)在(1)题中,如果AC=a cm,BC=b cm,其他条件不变,求此时线段MN的长度.

解析：(1)因为AC=8 cm,点M是AC的中点,所以CM=AC=4 cm,

因为BC=6 cm,点N是BC的中点,所以CN=BC=3 cm,

所以MN=CM+CN=7 cm,所以线段MN的长度为7 cm;

(2)因为点M,N分别是AC,BC的中点,所以CM=AC,CN=BC,

因为AC=a cm,BC=b cm,所以MN=(AC+BC)=cm.

变式1：如图所示,B,C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,则线段AD的长是              (B)

A.2(a-b) B.2a-b  C.a+b  D.a-b

变式2：已知直线l上依次三点A,B,C,AB=6,BC=m,点M是AC的中点.

(1)如图,当m=4时,求线段BM的长度(写出线段关系);

(2)在直线l上存在一点D,CD=n<m,用m,n表示线段DM的长度.

解析：(1)当m=4时,BC=4,

因为AB=6,所以AC=4+6=10,

又M为AC的中点,所以AM=MC=5,

所以BM=AB-AM=6-5=1;

(2)因为AB=6,BC=m,所以AC=6+m,

因为M为AC的中点,所以AM=MC=,

①当D在线段BC上,M在D的左边时,CD=n,

MD=MC-CD=-n=;

②当D在线段AB上,M在D的右边时,CD=n,

MD=DC-MC=n-=;

③当D在l上且在点C的右侧时,CD=n,

MD=MC+CD=+n=.

拓展:三等分点

　阅读材料:三等分点是把一条线段平均分成三等份的点.把一条线段平均分成三等份的两个点,都叫线段的三等分点.例如,点C是线段AB的三等分点,且AC<BC,则AC=AB.

根据以上材料解决以下问题:

如图,P是线段AB的三等分点,Q是直线AB上一点,且AQ-BQ=PQ,求的值.

解析：点Q的位置有两种情况:

①Q在PB之间时,

因为P是定长线段AB的三等分点,Q是直线AB上一点,且AQ-BQ=PQ,所以AP=BQ=PQ,所以=.

②Q在PB的延长线上时,

因为P是定长线段AB的三等分点,Q是直线AB上一点,且AQ-BQ=PQ,所以AP=BQ,所以AB=PQ,所以=1.