高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算综合训练题

5．2.3　简单复合函数的导数

知识点一  复合函数求导

1.函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)

A.(ex－e－x)  B．(ex＋e－x)

C．ex－e－x  D．ex＋e－x

答案　A

解析　设u＝e－x，v＝－x，则ux′＝(ev)′(－x)′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝(ex－e－x)．

2．函数y＝x2cos2x的导数为(　　)

A．y′＝2xcos2x－x2sin2x  B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x

C．y′＝x2cos2x－2xsin2x  D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x

答案　B

解析　y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－2sin2x)＝2xcos2x－2x2sin2x.

3．求下列函数的导数：

(1)y＝(1＋cos2x)3；(2)y＝sin2；

(3)y＝；(4)y＝(2x2－3).

解　(1)∵y＝(1＋cos2x)3＝(2cos2x)3＝8cos6x，

∴y′＝48cos5x·(cosx)′＝48cos5x·(－sinx)＝－48sinxcos5x.

(2)令y＝u2，u＝sin，再令u＝sinv，v＝，

∴yx′＝yu′·uv′·vx′＝(u2)′·(sinv)′·′＝2u·cosv·＝2sin·cos·＝－·sin.

(3)设y＝u－，u＝1－2x2，则y′＝(u－)′(1－2x2)′＝(－4x)＝－(1－2x2)－(－4x)＝2x(1－2x2)－.

(4)令y＝uv，u＝2x2－3，v＝，再令v＝，w＝1＋x2.

vx′＝vw′·wx′＝()′(1＋x2)′＝w－·2x＝＝，

∴y′＝(uv)′＝u′v＋uv′＝(2x2－3)′＋(2x2－3)·＝4x＋＝.

4．求下列函数的导数：

(1)y＝102x＋3；(2)y＝lg (2x2＋3x＋1)．

解　(1)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3.

(2)设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u，

∴yx′＝yu′·ux′＝×(2x2＋3x＋1)′＝.

知识点二  导数的综合应用

5.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．

答案　1

解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．

由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.

6．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，求b的值．

解　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln (x2＋1))．

则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝·x－＋ln (x2＋1)，

依题意，得

解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.

7．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t)．

(1)求切线l的方程；

(2)求S(t)的解析式．

解　(1)∵y＝e－x，∴y′＝(e－x)′＝－e－x，

∴y′|x＝t＝－e－t.

故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，即x＋ety－(t＋1)＝0.

(2)令y＝0，得x＝t＋1；

令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．

∴S(t)＝(t＋1)e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0).

一、选择题

1．函数y＝的导数是(　　)

A.  B．

C．－  D．－

答案　C

解析　y′＝′＝·(3x－1)′＝－.故选C.

2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)

A．2e  B．e

C．2  D．1

答案　C

解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.

3．函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　)

A．－2sin2x＋  B．2sin2x＋

C．－2sin2x＋  D．2sin2x－

答案　A

解析　y′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋.

4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

答案　D

解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈.

5．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)处相切，则a＋b的值为(　　)

A．－1  B．1

C．0  D．2

答案　A

解析　由y＝f(x)过点(0,0)得b＝－1，∴f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax－1，∴f′(x)＝＋＋a，又曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)处相切，即曲线y＝f(x)在点(0,0)处切线的斜率为，∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，∴a＝0，故a＋b＝－1，选A.

二、填空题

6．下列各函数的导数：

①()′＝x(x2＋1)－；②(ax)′＝axln x(a>0，且a≠1)；③(sin2x)′＝cos2x；④′＝.

其中正确的有________．

答案　①④

解析　()′＝(x2＋1)－·(x2＋1)′＝x(x2＋1)－，①正确；(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)，②错误；(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，③错误；′＝＝＝，④正确．

7．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．

答案　5x＋y－3＝0

解析　因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.

8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)为奇函数，则φ＝________.

答案　

解析　f′(x)＝－sin(x＋φ)·(x＋φ)′＝－·sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2cos.若f(x)＋f′(x)为奇函数，当且仅当φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，所以k只能取0，从而φ＝.

三、解答题

9．求下列函数的导数：

(1)y＝sin2；

(2)y＝4；

(3)y＝x·；

(4)y＝esin(ax＋b)．

解　(1)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，则

yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cosv·2＝4sinvcosv＝2sin2v＝2sin.

(2)设u＝2x3－x＋，y＝u4，

则yx′＝yu′·ux′＝4u3·

＝43.

(3)y′＝x′·＋x·()′.

设t＝，u＝2x－1，则t＝u，

tx′＝tu′·ux′＝·u－·(2x－1)′＝××2＝.∴y′＝＋＝.

(4)设y＝eu，u＝sinv，v＝ax＋b，则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cosv·a＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．

10．曲线y＝e2x·cos3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．

解　∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，∴k＝y′|x＝0＝2.

∴在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设符合题意的直线l方程为y＝2x＋b，根据题意，得＝，∴b＝6或－4.∴符合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.