人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算复习练习题

5．2.2　导数的四则运算法则

知识点  导数的运算法则

1.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　D

解析　∵y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.

2．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2＋3x＋ex，则函数f(x)的表达式可以是(　　)

A．f(x)＝x3＋3x2＋ln x 

B．f(x)＝x3＋x2＋＋2

C．f(x)＝x3＋x2＋ex＋3 

D．f(x)＝x3＋x2＋ln x＋3

答案　C

解析　对于A，f′(x)＝3x2＋6x＋；对于B，f′(x)＝x2＋3x－；对于C，f′(x)＝x2＋3x＋ex；对于D，f′(x)＝x2＋3x＋.故选C.

3．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

答案　3

解析　f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．

由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.

4．求下列函数的导数：

(1)y＝x5＋x3；(2)y＝lg x－ex；

(3)y＝x－sincos.

解　(1)y′＝′＝′＋′＝x4＋2x2.

(2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex.

(3)∵y＝x－sincos＝x－sinx，

∴y′＝′＝1－cosx.

5．求下列函数的导数：

(1)y＝cosx；(2)y＝x·tanx.

解　(1)解法一：y′＝′

＝′cosx＋(cosx)′＝(x－)′cosx－sinx

＝－x－cosx－sinx＝－－sinx

＝－－sinx＝－.

解法二：y′＝′＝′

＝

＝

＝－

＝－.

(2)y′＝(x·tanx)′＝′

＝

＝

＝.

6．求下列函数的导数：

(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝.

解　(1)解法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′

＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′

＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)

＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2

＝3x2＋12x＋11.

解法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)

＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′

＝(x3＋6x2＋11x＋6)′

＝3x2＋12x＋11.

(2)解法一：y′＝′

＝

＝＝.

解法二：∵y＝＝＝1－，

∴y′＝′＝′

＝－

＝.

7．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

解　(1)f′(x)＝a＋.

又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，

∴⇒⇒

∴f(x)的解析式为f(x)＝x－.

(2)设点为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线的斜率k＝1＋，切线方程为y－＝(x－x0)，

令x＝0，得y＝－.

由得

∴曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0||－|＝6，为定值．

一、选择题

1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　B

解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.

∴a＝.

2．下列求导数运算正确的是(　　)

A.′＝1＋  B．(log2x)′＝

C．(3x)′＝3xlog3e  D．(x2cosx)′＝－2xsinx

答案　B

解析　对于A，′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确；对于C，(3x)′＝3xln 3；对于D，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故选B.

3．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)

A．2  B．－2

C．  D．－

答案　D

解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，

∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.

令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，即2f′(2)＝－，∴f′(2)＝－，故选D.

4．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3  B．2

C．1  D．

答案　A

解析　因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不符合题意，舍去)．

5．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)

A．[－2,2]  B．[，]

C．[，2]  D．[，2]

答案　D

解析　∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，

∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.∵θ∈，

∴sin∈，∴2sin∈[，2]．

二、填空题

6．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

答案　2x－y＋3＝0

解析　∵f′(x)＝cosx＋ex，f′(0)＝cos0＋e0＝2，f(0)＝sin0＋e0＋2＝3，∴切线方程为y－3＝2x，即2x－y＋3＝0.

7．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，且它们的倾斜角互补，则a的值为________．

答案　

解析　设切点坐标为(t，t3－at＋a)，切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a　①.所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)　②，将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝，代入①式，得k＝－a或k＝－a，由两条切线的倾斜角互补，知－a与－a互为相反数，即－a＋－a＝0，解得a＝.

8．已知f(x)＝，则f′(x)＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．

答案　　

解析　f′(x)＝＝，由f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0，解得x0＝.

三、解答题

9．求下列各函数的导数：

(1)y＝x；

(2)y＝(＋1)；

(3)y＝cosx·ln x.

解　(1)∵y＝x＝x＋2＋，

∴y′＝1－.

(2)∵y＝(＋1)＝－＋，

∴y′＝(－)′＋′＝－x－－x－＝－.

(3)y′＝(cosx·ln x)′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋.

10．求下列函数的导数：

(1)y＝3xex－2x＋e；

(2)y＝；

(3)y＝.

解　(1)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′

＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2.

(2)y′＝

＝

＝.

(3)y′＝

＝

＝.