A组·基础自测
一、选择题
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上不单调
[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．
2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( A )
A．f(x)＝10－2x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝2x D．f(x)＝－eq \f(1,x)
[解析] 根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝10－2x在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝x2－3x在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增；f(x)＝2x，f(x)＝－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增．
3．函数f(x)在R上是减函数，则有( C )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
[解析] 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
4．下列命题正确的是( D )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)[解析] A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝eq \f(1,x－1)在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝eq \f(1,x－1)在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．
5．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[解析] 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
二、填空题
6．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是_(－∞，1)和(1，＋∞)_.
[解析] 由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
7．函数f(x)＝|2x－1|的单调递减区间是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))_.
[解析] 函数f(x)的图象如图所示，由图象易知函数的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
8．已知f(t)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))_.
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，))解得1≤x≤2 ①.
因为f(t)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，
所以x－2＜1－x，解得x＜eq \f(3,2) ②.
由①②得1≤x＜eq \f(3,2).
所以满足题设条件的x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解析] y＝－x2＋2|x|＋3
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3x≥0,－x2－2x＋3x<0))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋4x≥0，,－x＋12＋4x<0.))
函数图象如图，
由图象可知，在(－∞，－1)和[0,1]上，函数是增函数，
在[－1,0]和(1，＋∞)上，函数是减函数．
10．判断函数y＝x－eq \f(1,x)，x∈(0，＋∞)的单调性并说明理由．
[解析] 根据题意，函数y＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，
证明：f(x)＝x－eq \f(1,x)，设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x2)))＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x1x2)))，
又由0＜x1＜x2，得f(x1)－f(x2)＜0，
故函数y＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增．
B组·能力提升
一、选择题
1．(多选题)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( CD )
A.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D.eq \f(x1－x2,fx1－fx2)＜0
[解析] 因为f(x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)，所以C不正确，故选CD.
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( D )
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[解析] ∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．
3．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( BD )
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
[解析] 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a>0，,－\f(4a－3,4a)＝－4，))a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－\f(4a－3,4a)≥3，))得0二、填空题
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≥0，,－x2＋1，x＜0，))则f(x)的单调递增区间是_(－∞，＋∞)_.
[解析] 根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≥0，,－x2＋1，x＜0，))
则在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2＋1为增函数，且f(x)≥1，在区间(－∞，0)上，
f(x)＝－x2＋1为增函数，且f(x)＜1，
故f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(－∞，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－a＋1x＋7x≤1，,a－4x＋5x>1))是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是_[1,3]_.
[解析] 根据题意，函数f(x)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－a＋1x＋7x≤1，,a－4x＋5x>1))是R上的减函数，必有eq \f(a＋1,2)≥1，且a－4<0，且1－(a＋1)＋7≥(a－4)＋5，解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1,3]．
三、解答题
6．已知函数f(x)＝eq \f(3x＋7,x＋2).
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2,2)，且满足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(3x＋7,x＋2)＝3＋eq \f(1,x＋2)，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1>x2>－2，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1＋2)－eq \f(1,x2＋2)＝eq \f(x2－x1,x1＋2x2＋2)，因为x1>x2>－2，
所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，
所以f(x1)(2)由(1)可知，当x∈(－2,2)时，函数f(x)单调递减，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2<－2m＋3<2，,－2解得1所以m的取值范围为(1，eq \r(2))．
C组·创新拓展
若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))<2.
[解析] (1)在feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)中，
令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)))∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)>0，,\f(x＋3,2)<6，))解得－3即不等式的解集为{x|－3