数学人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习

这是一份数学人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习，共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题）
1. 已知圆 x2+y2=1 与圆 x−32+y2=r2r>0 相外切，那么 r 等于
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 已知圆 C1:x2+y2=1，圆 C2:x−32+y−42=9，则圆 C1 与圆 C2 的位置关系是
A. 内含B. 外离C. 相交D. 相切

3. 对任意的实数 k，直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心

4. 已知集合 M=x,yx2+y2≤4 与 N=x,yx−12+y−12≤r2r>0 满足 M∩N=N，则 r 的取值范围是
A. 0,2−1B. 0,1C. 0,2−2D. 0,2

5. 圆 x−32+y−32=4 上到直线 3x+4y−16=0 的距离等于 1 的点有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

6. 已知 P，Q 分别为圆 M：x−62+y−32=4 与圆 N：x+42+y−22=1 上的动点，A 为 x 轴上的动点，则 ∣AP∣+∣AQ∣ 的最小值为
A. 101−3B. 55−3C. 75−3D. 72

7. Mx0,y0 为圆 x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线 x0x+y0y−a2=0 与该圆的位置关系是
A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交

8. 已知直线 l:y=x+1 平分圆 C:x−12+y−b2=4，则直线 x=3 同圆 C 的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定

9. 当曲线 y=1+2−x2 与直线 y=x+b 有公共点时，实数 b 的取值范围是
A. −1,3B. −1,3C. 1−2,3D. 1−2,3

10. 圆 x2+4x+y2=0 与圆 x−22+y−32=r2 有三条公切线，则半径 r=
A. 5B. 4C. 3D. 2

11. 设实数 x，y 满足 x+22+y2=3，那么 yx 的取值范围是
A. −33,33B. −∞,−33∪33,+∞
C. −3,3D. −∞,−3∪3,+∞

12. 设两圆 C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点 4,1，则两圆圆心的距离 ∣C1C2∣ 为
A. 4B. 42C. 8D. 82

13. 直线 x+ay+1=0 与圆 x2+y−12=4 的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定

14. 已知圆 O:x2+y2=1 与圆 C:x−a2+y−b2=1 外切，则圆 x2+y2−ax−by=1 与直线 ax+by=4 的位置关系是
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 与 a，b 的取值有关

二、填空题（共5小题）
15. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y2=r2r>0 与圆 M：x−32+y+42=4 相交，则 r 的取值范围是 ．

16. 圆 x2+y2+2x+4y−3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有 个．

17. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O:x2+y2=1，圆 M:x+a+12+y−2a2=1（a 为实数）．若圆 O 和圆 M 上分别存在点 P，Q，使得 ∠OQP=30∘，则 a 的取值范围为 ．

18. 若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x−4y=0 的圆心，则 a 的值为 ．

19. 若在圆 x−32+y−42=r2r>0 上存在两个不同的点 P，Q，使得 OP=OQ=1（O 为坐标原点），则实数 r 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题）
20. 两圆方程作差得到的方程是公共弦方程吗?

21. 判断直线与圆的位置关系的两种方法的优缺点是什么?

22. 已知圆 O1:x2+y2+2x+6y+9=0，圆 O2:x2+y2−6x+2y+1=0，求两圆的公切线方程．

23. 如图，已知一艘海监船 O 上配有雷达，其监测范围是半径为 25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能，持续时间多长?（要求用坐标法）

24. 求圆心在直线 x−y−4=0 上，且过两圆 x2+y2−4x−6=0 和 x2+y2−4y−6=0 的交点的圆的方程．

25. 船只航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱桥的最高点距水面 9 m，圆拱桥内水面宽 18 m，船只在水面以上部分高为 6.5 m，船顶部宽为 4 m，船行无阻．近日水位暴涨了 2.7 m，船只已经不能通过桥洞了，船员必须加重船载，降低船身，试问：船身至少降低多少，才能通过桥洞?（精确到 0.01 m）
答案
1. B
2. B
【解析】由题意知圆 C1 的圆心坐标为 0,0，半径为 1，圆 C2 的圆心坐标为 3,4，半径为 3，圆心距为 3−02+4−02=5，因为两圆的半径之和为 1+3=4<5，所以圆 C1 与圆 C2 外离．
3. C
【解析】直线 y=kx+1 恒过定点 0,1，定点到圆心的距离 d=1<2，即定点在圆内部，
所以直线 y=kx+1 与圆相交但直线不过圆心．
4. C
5. C
6. B
【解析】如图，作圆 N 关于 x 轴对称的圆 G，连接 MG，交 x 轴于点 A（即点 O），连接 AN，
圆 G：x+42+y+22=1，则 ∣AP∣+∣AQ∣ 的最小值为 ∣MG∣−1−2=102+52−3=55−3，故选B．
7. C
【解析】由圆的方程得到圆心坐标为 0,0，半径 r=a，
由 M 为圆内一点得到：x02+y02则圆心到已知直线的距离 d=−a2x02+y02>a=r，
所以直线与圆的位置关系为：相离．
8. B
9. C
【解析】由曲线 y=1+2−x2 得 x2+y−12=2y≥1，
表示以 C0,1 为圆心、半径等于 2 的半圆，如图所示：
当直线 y=x+b 过点 2,1 时，可得 b=1−2，
满足直线 y=x+b 与曲线 y=1+2−x2 有一个不同的公共点．
当直线 y=x+b 和半圆相切时，由 2=∣−1+b∣2，
解得 b=3 或 b=−1（舍去），
所以曲线 y=1+2−x2 与直线 y=x+b 有公共点时，
实数 b 的取值范围是 1−2,3，故选：C．
10. C
【解析】由圆 x2+4x+y2=0，得 x+22+y2=4，
所以圆心坐标为 −2,0，半径为 2．
由圆 x−22+y−32=r2，得圆心坐标为 2,3，半径为 r．
因为圆 x2+4x+y2=0 与圆 x−22+y−32=r2 有三条公切线，
所以故两圆外切，
所以 −2−22+0−32=2+r，即 5=2+r，
所以 r=3．
11. C
【解析】如图所示，
方程 x+22+y2=3 表示：
以 −2,0 为圆心，3 为半径的圆，
代数式 yx=y−0x−0 的几何意义是：
圆上的点与 0,0 连线的斜率，
由图象可得，当直线 y=kx 与圆相切时，yx 分别取到最大值和最小值，
由 3=−2kk2+1 得，k=±3，
所以 yx 的取值范围是 −3,3．
12. C
【解析】因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点 4,1，
所以两圆圆心均在第一象限且都在直线 y=x 上．
设两圆的圆心分别为 a,a，b,b，
则有 4−a2+1−a2=a2，4−b2+1−b2=b2，
即 a，b 为方程 4−x2+1−x2=x2 的两个根，
整理得 x2−10x+17=0，
所以 a+b=10，ab=17．
所以 a−b2=a+b2−4ab=100−4×17=32，
所以 ∣C1C2∣=a−b2+a−b2=32×2=8．
13. A
【解析】直线 x+ay+1=0 恒过 −1,0，
圆 x2+y−12=4 的圆心 0,1，半径为 2．
因为 −12+0−12=2<4．
点 −1,0 在圆的内部，
所以直线与圆相交．
14. C
15. 316. 3
17. −1−415≤a≤−1+415
18. a=1
19. 4,6
【解析】如图，
圆 x−32+y−42=r2r>0 是以 3,4 为圆心，以 r 为半径的圆，圆心到原点的距离为 32+42=5．
要使圆 x−32+y−42=r2r>0 上存在两个不同的点 P，Q，使得 OP=OQ=1．
则 420. 当两圆位置关系是相交时，得到的是公共弦方程；当两圆是其他关系时，得到的方程不是公共弦方程．
21. （1）代数法从方程的角度来考虑，计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．
（2）应用几何法还可以判断圆上有 0 个，1 个，2 个，3 个，4 个点到直线的距离等于某一定值的情况．
22. 圆 O1 的圆心为 O1−1,−3，半径 r1=1；圆 O2 的圆心为 O23,−1，半径 r2=3，则 O1O2>r1+r2，
所以两圆外离，所以两圆有四条公切线．
当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 y=kx+b，即 kx−y+b=0．
则 −k+3+b1+k2=1,3k+1+b1+k2=3,
解得 k=0,b=−4, 或 k=43,b=0, 或 k=−34,b=−52.
当斜率不存在时，直线 x=0 也和两圆相切．
所以所求切线方程为 y+4=0，4x−3y=0，x=0，3x+4y+10=0．
23. 如图，以 O 为原点，建立直角坐标系，
则 A40,0,B0,30，圆 O 的方程为 x2+y2=252．
直线 AB 的方程为 x40+y30=1，即 3x+4y−120=0．
设 O 到直线 AB 的距离为 d，则 d=∣−120∣5=24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设持续时间为 t，则 t=2252−24228=0.5h．
答：外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是 0.5 h．
24. 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为
x2+y2−4x−6+λx2+y2−4y−6=0λ≠−1，
即 x2+y2−41+λx−4λ1+λy−6=0，所以圆心坐标为 21+λ,2λ1+λ．
又圆心在直线 x−y−4=0 上，所以 21+λ−2λ1+λ−4=0，即 λ=−13．
所以所求圆的方程为 x2+y2−6x+2y−6=0．
方法二：由 x2+y2−4x−6=0,x2+y2−4y−6=0 得两圆公共弦所在直线的方程为 y=x，
联立 y=x,x2+y2−4y−6=0, 解得 x1=−1,y1=−1,x2=3,y2=3.
所以两圆 x2+y2−4x−6=0 和 x2+y2−4y−6=0 的交点分别为 A−1,−1，B3,3．
线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程为 y−1=−x−1．
由 y−1=−x−1,x−y−4=0, 得 x=3,y=−1,
所以所求圆的圆心为 3,−1，半径为 3−32+3−−12=4．
所以所求圆的方程为 x−32+y+12=16．
【解析】方法三：同方法二，求得两圆的交点坐标分别为 A−1,−1，B3,3．
设所求圆的方程为 x−a2+y−b2=r2r>0，
由 a−b−4=0,−1−a2+−1−b2=r2,3−a2+3−b2=r2, 解得 a=3,b=−1,r2=16.
所以所求圆的方程为 x−32+y+12=16．
25. 建立如图所示的直角坐标系，
由题意，得 A9,−9．
设 B2,y1−9因为 A9,−9，O0,0 在圆上，
所以 92+−9−b2=r2,02+0−b2=r2, 解得 b=−9,r2=81.
所以圆的标准方程为 x2+y+92=81．
又点 B 在圆上，
所以 22+y1+92=81，解得 y1=77−9（y2=−77−9 舍去），
所以涨水前点 B 到水面的距离为 77 m，又涨水后点 B 到水面的距离为 77−2.7<6.5，
所以船要通过桥洞，船身至少需要降低约 6.5+2.7−77≈0.43m．