新教材适用2023_2024学年高中数学第4章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册

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第四章　数　列章末整合提升知识体系构建核心知识归纳1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用．(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用．(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题．(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系．2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．要点专项突破A　　　　　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解析]　(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．　　　　　已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.　　　　　已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于(　　)A．30　　　　　　　　　 B．45C．90 D．186C　　　　　设数列{an}为1，2x，3x2，4x3，…，nxn－1，…(x≠0)，求此数列前n项的和．[分析]　这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法．[解析]　Sn＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1，①xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，②由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，(1)直接写出a2，a3，a4的值；(2)推测出{an}的通项公式并证明．令n＝1，可得a2＝4，令n＝2，可得a3＝9，令n＝3，可得a4＝16.(2)由(1)，归纳猜想an＝n2(n∈N*)．下面应用数学归纳法进行证明：①当n＝1时，a1＝12＝1，满足题意，故成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝k2，故n＝k＋1时，等式成立．由①②可知，an＝n2(n∈N*)．1．(2023·广西河池市高二期末(文))已知在前n项和为Sn的数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－an－2，则S101＝(　　)A．－97 B．－98C．－99 D．－100[解析]　由an＋1＝－an－2，有an＋an＋1＝－2，则S101＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a100＋a101)＝1－2×50＝－99.故选C．CCB[解析]　(1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)由(1)可得a2n＝3n－1，a2n－1＝a2n－2＋2＝bn－1＋2＝3n－2.所以a19＝3×10－2＝28，a20＝3×10－1＝29.6．(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.[解析]　(1)设等比数列{an}首项为a1，公比为q(q>1)．所以an＝2n.(2)依题意及(1)知，b1＝0，当2n≤m<2n＋1时，bm＝n，又26＝64<100,27＝128>100，故bm≤6.当21≤m<22时，bm＝1，即b2＝b3＝1；当22≤m<23时，bm＝2，即b4＝b5＝b6＝b7＝2；当23≤m<24时，bm＝3，即b8＝b9＝…＝b15＝3；…；当26≤m<27时，bm＝6，即b64＝b65＝…＝b100＝6.故S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝1×0＋2×1＋22×2＋23×3＋24×4＋25×5＋(100－64＋1)×6＝480.所以S100＝1×0＋1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.