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人教部编办版九年级数学上册第二十四章第24课正多边形和圆含解析答案 试卷
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这是一份人教部编办版九年级数学上册第二十四章第24课正多边形和圆含解析答案，共34页。
第二十四章第24课正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
2．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
5．如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
6．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
10．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
11．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7 B． C． D．
12．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
13．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形
15．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
16．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．圆内接四边形中，四个角的度数比可顺次为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在中，四边形测得，连接，若的半径为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
19．半径为2的圆内接正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C． D．
20．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（ ）
A．2 B．6 C．12 D．
22．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在正六边形的内部以为边作正方形，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
24．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
26．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
27．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
28．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
29．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是 ．
30．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ．
31．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
32．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 平方分米．
33．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于 .
三、解答题
34．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
35．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
36．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
37．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
38．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
参考答案：
1．C
【分析】设多边形的边数是n．每个内角是，中心角是，根据内角是中心角2倍，建立方程解方程即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n．
则每个内角是，中心角是．
根据题意得：＝2×
解得：n＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和公式，根据题意建立方程是解题的关键．
2．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
3．A
【分析】根据正n边形的中心角的度数为，即可求解．
【详解】解：设这个正多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：n＝9，
故选A．
【点睛】本题考查正多边形的中心角与边数的关系，解题的关键是掌握“正n边形的中心角的度数为”．
4．C
【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
5．D
【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．
6．C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
7．C
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
8．B
【分析】根据正n边形的中心角的度数为，列方程即可得到答案．
【详解】解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
9．B
【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
10．C
【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
设EG的长为x，则OG的长为，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用各知识点．
11．B
【分析】连接DB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质，可证是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=5，由此即可解题．
【详解】解：连接DB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，选项B符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形判断与性质，掌握圆内接正多边形性质，正确添加辅助线，得出是等边三角形是解题的关键．
12．C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．D
【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．
14．B
【分析】根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断．
【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．D
【分析】根据题意作出圆内接正六边形，连接OA，OB，证明是等边三角形即可得解；
【详解】如图，连接OA，OB，
∵圆内接正六边形的边长为3，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴该圆的直径为；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
16．B
【分析】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可知两组相对的角比例和相等，即可判断结果．
【详解】解：∵圆内接四边形的对交互补，即相加等于180°，
故：A选项：4+2≠3+1，错误；
B选项：4+1=3+2，正确；
C选项：4+3≠2+1，错误；
D选项：4+3≠1+2，错误．
故：选B．
【点睛】掌握圆内接四边形对角的关系是解本题的关键．
18．C
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝30°，进而得出∠AOC＝60°，利用等边三角形性质解答即可．
【详解】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠D＝180°，
解得：∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
又AC=4，
∴半径OC=OA=4.
故选：C．
【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝30°．
19．B
【分析】圆内接正六边形的边心距可转化为正三角形的高，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正六边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，即图中OD长度，
如图，△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，
由垂径定理可知，AD=BD=1，OD=；
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的概念和计算，看清题目，把圆和多边形准确转化是解题的关键．
20．B
【分析】求出正五边形的中心角即可解决问题；
【详解】解：正五边形的中心角，
绕它的中心旋转角度后能够与自身重合，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．C
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG=，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定理求出AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG=，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
22．B
【分析】如图所示，连接OC，证明△OCD是等边三角形，得到OD=CD=AB=2，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵点O是正六边形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴点D的坐标为（2，0），
故选B．
【点睛】本题主要考查了求正多边形中心角，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，正确推出△OCD是等边三角形是解题的关键．
23．D
【分析】由题意可知，，推出，所以，推出，即可求出的值．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆以及特殊角的正切值，正确利用正多边形内角和公式是解题的关键．
24．C
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG=EF=，
∴△GEF的面积=×EF•GE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
25．B
【分析】连接OA、OB，根据圆内接正六边形的性质得到△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC= 30°，由OA=2cm，得到AC=1cm，根据勾股定理求出OC即可．
【详解】如图，连接OA、OB，则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故选：B．
【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
26．C
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=x，B'F=x，从而BC=x+x+x=2+，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
27．A
【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据中心对称即可求解．
【详解】如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，则AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为，
故选A
【点睛】本题考查了正多边形与圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中心对称，掌握以上知识是解题的关键．
28．A
【分析】标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，根据正多边形和圆的性质，矩形的判定定理和性质确定∠DAB=∠ABC=90°，根据多边形的内角和定理确定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根据角的和差关系，平行线的判定定理确定，根据平行线的性质，矩形的判定定理和性质求出GH的长度，根据三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理求出GA和HB的长度，最后根据线段的和差关系即可求出AB的长度．
【详解】解：如下图所示，标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H．
根据图形可知直线AC和直线BD是正八边形的对称轴．
∴AC和BD是该正八边形外接圆的直径．
∴AC=BD，点O为该正八边形外接圆的圆心．
∴OA=OB=OC=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵正八边形的边长为2，
∴AE=EF=FB=2，．
∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．
∴∠AEF+∠GAE=180°．
∴．
∴∠EGH+∠GEF=180°．
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．
∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，．
∴四边形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．
∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．
∴，．
∴，．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆的性质，多边形的内角和定理，矩形的判定定理和性质，平行线的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
29．六
【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
30．12
【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
31．1
【分析】连接OA、OC、OD，证△OCD是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCD为等边三角形是解题的关键．
32．
【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为16（平方分米），
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
33．4
【分析】解：如图，联结CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．
【详解】解：如图，联结CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
34．2cm
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
35．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
36．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点睛】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
37．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．
38．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
第二十四章第24课正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
2．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
5．如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
6．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．12 C．3 D．6
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
10．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
11．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7 B． C． D．
12．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
13．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
14．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形
15．圆内接正六边形的边长为 3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
16．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．圆内接四边形中，四个角的度数比可顺次为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在中，四边形测得，连接，若的半径为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
19．半径为2的圆内接正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C． D．
20．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（ ）
A．2 B．6 C．12 D．
22．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在正六边形的内部以为边作正方形，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
24．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
26．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
27．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
28．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
29．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是 ．
30．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为 ．
31．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
32．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 平方分米．
33．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于 .
三、解答题
34．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
35．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
36．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
37．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
38．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
参考答案：
1．C
【分析】设多边形的边数是n．每个内角是，中心角是，根据内角是中心角2倍，建立方程解方程即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n．
则每个内角是，中心角是．
根据题意得：＝2×
解得：n＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和公式，根据题意建立方程是解题的关键．
2．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
3．A
【分析】根据正n边形的中心角的度数为，即可求解．
【详解】解：设这个正多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：n＝9，
故选A．
【点睛】本题考查正多边形的中心角与边数的关系，解题的关键是掌握“正n边形的中心角的度数为”．
4．C
【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．
【详解】
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
5．D
【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．
6．C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
7．C
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
8．B
【分析】根据正n边形的中心角的度数为，列方程即可得到答案．
【详解】解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
9．B
【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
10．C
【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
设EG的长为x，则OG的长为，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用各知识点．
11．B
【分析】连接DB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质，可证是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=5，由此即可解题．
【详解】解：连接DB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，选项B符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形判断与性质，掌握圆内接正多边形性质，正确添加辅助线，得出是等边三角形是解题的关键．
12．C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．D
【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．
14．B
【分析】根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断．
【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．D
【分析】根据题意作出圆内接正六边形，连接OA，OB，证明是等边三角形即可得解；
【详解】如图，连接OA，OB，
∵圆内接正六边形的边长为3，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴该圆的直径为；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
16．B
【分析】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可知两组相对的角比例和相等，即可判断结果．
【详解】解：∵圆内接四边形的对交互补，即相加等于180°，
故：A选项：4+2≠3+1，错误；
B选项：4+1=3+2，正确；
C选项：4+3≠2+1，错误；
D选项：4+3≠1+2，错误．
故：选B．
【点睛】掌握圆内接四边形对角的关系是解本题的关键．
18．C
【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝30°，进而得出∠AOC＝60°，利用等边三角形性质解答即可．
【详解】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠D＝180°，
解得：∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
又AC=4，
∴半径OC=OA=4.
故选：C．
【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝30°．
19．B
【分析】圆内接正六边形的边心距可转化为正三角形的高，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正六边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，即图中OD长度，
如图，△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，
由垂径定理可知，AD=BD=1，OD=；
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的概念和计算，看清题目，把圆和多边形准确转化是解题的关键．
20．B
【分析】求出正五边形的中心角即可解决问题；
【详解】解：正五边形的中心角，
绕它的中心旋转角度后能够与自身重合，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．C
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG=，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定理求出AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG=，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
22．B
【分析】如图所示，连接OC，证明△OCD是等边三角形，得到OD=CD=AB=2，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵点O是正六边形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴点D的坐标为（2，0），
故选B．
【点睛】本题主要考查了求正多边形中心角，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，正确推出△OCD是等边三角形是解题的关键．
23．D
【分析】由题意可知，，推出，所以，推出，即可求出的值．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆以及特殊角的正切值，正确利用正多边形内角和公式是解题的关键．
24．C
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG=EF=，
∴△GEF的面积=×EF•GE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
25．B
【分析】连接OA、OB，根据圆内接正六边形的性质得到△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC= 30°，由OA=2cm，得到AC=1cm，根据勾股定理求出OC即可．
【详解】如图，连接OA、OB，则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故选：B．
【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
26．C
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=x，B'F=x，从而BC=x+x+x=2+，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
27．A
【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据中心对称即可求解．
【详解】如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，则AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为，
故选A
【点睛】本题考查了正多边形与圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中心对称，掌握以上知识是解题的关键．
28．A
【分析】标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，根据正多边形和圆的性质，矩形的判定定理和性质确定∠DAB=∠ABC=90°，根据多边形的内角和定理确定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根据角的和差关系，平行线的判定定理确定，根据平行线的性质，矩形的判定定理和性质求出GH的长度，根据三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理求出GA和HB的长度，最后根据线段的和差关系即可求出AB的长度．
【详解】解：如下图所示，标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H．
根据图形可知直线AC和直线BD是正八边形的对称轴．
∴AC和BD是该正八边形外接圆的直径．
∴AC=BD，点O为该正八边形外接圆的圆心．
∴OA=OB=OC=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵正八边形的边长为2，
∴AE=EF=FB=2，．
∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．
∴∠AEF+∠GAE=180°．
∴．
∴∠EGH+∠GEF=180°．
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．
∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，．
∴四边形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．
∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．
∴，．
∴，．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆的性质，多边形的内角和定理，矩形的判定定理和性质，平行线的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
29．六
【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
30．12
【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
31．1
【分析】连接OA、OC、OD，证△OCD是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCD为等边三角形是解题的关键．
32．
【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为16（平方分米），
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
33．4
【分析】解：如图，联结CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．
【详解】解：如图，联结CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
34．2cm
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
35．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
36．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点睛】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
37．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．
38．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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