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新教材2023_2024学年高中数学数学文化课件北师大版选择性必修第一册
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册本册综合教学演示ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了第二章圆锥曲线，答案D，答案A，答案B，答案①③，答案40，所以X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
【数学文化简介】数学不仅是一门科学,也是一种文化,即“数学文化”;数学文化是人类文化的重要组成部分,是人类精神与社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.对于数学文化,这在近几年的高考试题中有所体现.我国古代数学里有大量的实际问题,世界的数学宝库中也有很多经典的实例,同时也应了解当前的一些新科技和一些优秀科学家的杰出贡献.将数学文化融合到问题当中,这些问题同时也体现了应用性的考查,要引起学生的重视.比如在《九章算术·方田》《九章算术·商功》《圆锥曲线论》等著作中有较多关于本册知识的典型案例.
【数学文化举例】第一章 直线与圆1.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥(图1).若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴,桥的拱高OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图2),桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2+(y+20.7)2=27.92,求|OP|.
解 设点P坐标为(0,y).在方程x2+(y+20.7)2=27.92中,令x=0,则(y+20.7)2=27.92,解得y=7.2或y=-48.6(舍去).∴|OP|=7.2.
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足 =2,则动点M的轨迹围成的面积为( )A.64πB.16πC.4πD.2π
化简,得x2-10x+9+y2=0,整理,得(x-5)2+y2=42,从而M的轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆,∴动点M的轨迹围成的面积为4×4×π=16π.答案 B
解析 ∵|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,∴AF⊥BF,∴OA=OB=OF=c.设F(c,0),可知∠FAB=30°,
3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合),已知两个圆锥的底面半径均为1,母线长均为2,记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC,BD),用平行于α的平面截圆锥,该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线Γ的一部分,且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线Γ的离心率为( )
解析 两个圆锥的底面半径为r=1,母线长均为l=2,可得圆锥的高为设与平面α平行的平面为β,以AC,BD的交点在平面β内的投影为坐标原点,两圆锥的轴在平面β内的投影为x轴,在平面β内与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.由双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,设双曲线的渐近线方程为
第三章 空间向量与立体几何1.中国古代数学家名著《九章算术》中记载:刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.刍甍取形于茅草屋顶.现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF AB,若这个刍甍的体积为 ,则异面直线AB与CF所成角的余弦值为( )
解析 取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,MN,则多面体被分割为棱柱与棱锥两个部分,
2.我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:今有羡除下广六尺,上广一丈,深三尺;末广八尺,无深;袤七尺,问积几何?该问题中的羡除是指如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,且AB∥CD∥EF,两个底面为直角三角形,且BC⊥CF,AD⊥DE,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成的角的正弦值为( )
解析 如图,五面体ABCDEF中,四边形ABFE,ABCD,EFCD均为等腰梯形,
3.中国古代数学名著《九章算术·商功》中,阐述:“邪解立方得两渐土堵;邪解渐土堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则直线PA与BC所成的角等于 ;直线PB与平面PDC所成角的正弦值等于 .
解析 ∵底面ABCD为矩形,∴AD∥BC,则∠PAD为直线PA与BC所成的角,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即直线PA与BC所成的角等于45°.∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDC,则平面PDC⊥平面ABCD,又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,可得AD⊥平面PDC,又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC,∴∠BPC是直线PB与平面PDC所成的角,∵PD=3,DC=4,∴PC=5,
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有仓广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛.问高几何?”其意思为:“今有一个长方体(记为ABCD-A1B1C1D1)的粮仓,宽3丈(即AD=3丈),长4丈5尺(即AB=4.5丈),可装粟一万斛,问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为2.7立方尺,一丈为10尺,则下列判断正确的是 .(填写所有正确结论的编号) ①该粮仓的高AA1是2丈;②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为 ;③长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为 π平方丈.
解析 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=3丈,AB=4.5丈,V=10 000×2.7×10-3= 27(立方丈),
如图所示,∵AD∥BC,∴∠CBC1是异面直线AD与BC1所成的角,长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径的平方为
综上,正确的结论是①③.
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,在第一章《方田》中,将直角梯形称之为“邪田”,当直角梯形底边横放时,以“头”称其上下底,以“正从”称其高,如图(1),在“邪田”ABCD中,E,F分别在“正从”和“下头”上,沿EF,FD,DE将图形翻折起来,使A,B,C重合为一点O.
(1)求证:OE⊥DF;(2)若在“邪田”ABCD中,“正从”AB=4,“上头”AD=5,试求二面角O-DF-E的平面角的余弦值.
(1)证明 如图(2),依题意E,F分别为AB,BC的中点,且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,∵OF∩OD=O,∴OE⊥平面ODF,∵DF⊂平面ODF,∴OE⊥DF.(2)解 如图(3),过点D作DG⊥BC于G,则AD=5,DG=AB=4,∵OD=DA=DC,∴DC=5,∴CG=3,∵F为BC的中点,又BF+CF=8,∴CF=4,
如图(4),以O为原点,在平面OED中垂直于OF的直线为x轴,OF所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
6.木工技艺是我国传统文化瑰宝之一,体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具不用铁钉,保存到现代却依然牢固,这其中,有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图,是一个楔子形状的直观图.其底面ABCD为一个矩形,其中AB=6,AD=4.顶部线段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=6 ,EF=2,二面角F-BC-A的余弦值为 ,设M,N是AD,BC的中点.
(1)证明:BC⊥平面EFNM;(2)求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 ∵EF∥平面ABCD,且EF⊂平面EFBA,又平面ABCD∩平面EFBA=AB,∴EF∥AB.又M,N是平行四边形ABCD两边AD,BC的中点,∴MN∥AB,∴EF∥MN,∴E,F,M,N四点共面.∵FB=FC,∴BC⊥FN,∴BC⊥平面EFNM.
(2)解 在平面EFNM内过点F作MN的垂线,垂足为H,则由(1)可知:BC⊥平面EFNM,则平面ABCD⊥平面EFNM,
∴FH⊥平面ABCD,又FN⊥BC,HN⊥BC,则二面角F-BC-A的平面角为∠FNH.
过H作边AB,CD的垂线,垂足为S,Q,连接FS,FQ,则AB⊥SQ,AB⊥FH,则AB⊥平面FSQ,由(1)知,EF∥AB,∴EF⊥平面FSQ,∴∠SFQ是所求二面角B-EF-C的平面角.
第五章 计数原理1.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的选法为( )A.45种B.42种C.28种D.16种答案 B
2.杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被行数5整除,则具有类似性质的行是( )A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行
解析 由题意,第6行为1 6 15 20 15 6 1第7行为1 7 21 35 35 21 7 1故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.答案 B
3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的种数是 . 解析 在不超过30的素数中两个不同的数的和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种.答案 3
4.桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.现已知某市一中有2 556名学生,假设没有同学在2月29号过生日,那么在一年365天中最多人过生日的那天,至少有 人同时过生日. 解析 ∵2 556÷365≈7.002 74,∴在一年365天中最多人过生日的那天,至少有8人同时过生日.答案 8
5.已知大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员,现皇帝将大夫、不更、簪袅、上造、公士这5人分成两组(一组2人,一组3人),派去两地执行公务,则大夫、不更恰好在同一组的种数为 . 答案 8
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体方木,要把它制作成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”已知1尺为10寸,现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的块数为 . 解析 由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有6×16=96(块).答案 96
7.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“ ”当作数字“1”,把阴爻“ ”当作数字“0”,则八卦中的四卦所代表的数如表:
依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“ ”表示的十进制数是 .
解析 由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数的010001,转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.答案 17
8.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
若第n行中从左到右第14与第15个数的比为 ,求n的值.
第六章 概率1.如图,我国古代珠算算具——算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面2颗叫上珠,下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗,至少含有一颗上珠的概率为( )
2.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为3的概率为( )
解析 因为阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取1个的所有组合共有5×5=25(个),满足差的绝对值为3的有(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),(9,6),共7个,则所求概率是 .答案 C
3.中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座,每位同学只能选择一门课程,则甲乙两人至少有一人选择“礼”的概率是( )
解析 六门课程讲座,甲乙各选择一门课程的选法总数为6×6=36(种);甲乙两人至少有一人选择“礼”的总数选法为36-5×5=11(种);所以甲乙两人至少有一人选择“礼”的概率是 .答案 D
4.1654年,法国贵族德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡,在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛,约定胜者可以喝一杯酒,当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人采用七局四胜制的方法比赛,两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费,梅雷由于接到命令需要觐见国王,没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设,猜测最后付酒资的最有可能是( )A.肖恩B.尤瑟纳尔C.酒吧伙计D.酒吧老板
∴P(X=4)
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出赛,结果只有胜和负两种,并且每一方三场赛马的马的等级各不相同,三场赛马中至少获胜两场的一方为最终胜利者.(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1 000金,即胜利者赢得对方1 000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
解 (1)记事件A表示“按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜”.对于事件A,三场赛马中,由于有一场必输,则其余两场田忌都胜.因此,P(A)=0.8×0.9=0.72;(2)设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ,则随机变量ξ的可能取值为-1 000和1 000,若比赛一次,田忌获胜,则三场赛马中,田忌输赢的分布为:胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负,设比赛一次,田忌获胜的概率为P,则随机变量ξ的分布列如下表所示:
6.京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ,σ2),同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内),样本数据分别在区间[30,40),[40,50),[50,60), [60,70),[70,80]内,由此得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)在样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为 ,且每个人回答正确与否相互之间没有影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.
解 (1)∵P(ξ<38)=P(ξ>68),由频率分布直方图的性质可得:(0.01+0.03+b+0.02+a)×10=1,0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53,解得a=0.005,b=0.035.
第七章 统计案例1.地摊经济作为推进地方经济社会发展的一个支点,有利于促进经济社会秩序的恢复,小李的流动摊位某商品的售价X元和销售量Y件之间的一组数据如下表所示:
由散点图可知,销售量Y与价格X之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是Y=-3.2X+ ,则 = .
2.2022年春节期间,某支付软件公司推出“红包大行动”,用发红包的方法刺激支付软件的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.2元,2.9元,3.3元,5.9元,4.8元,商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送饮水杯.(1)求获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过5元的概率;(2)统计一周内每天使用该支付软件付款的人数X与商家每天的净利润Y元,得到7组数据,如表所示,并作出了散点图.
①直接根据散点图判断, 中哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.②根据①的判断,建立Y关于X的回归方程;若商家当天的净利润至少是1 400元,估计使用该支付软件付款的人数至少是多少?( ,c,d的值取整数)参考数据:
解 (1)由已知5名顾客中红包超过5元的2人分别记为A,B,不足5元的3人分别记为c,d,e,从这5人随机抽取3人,样本点有ABc,ABd,ABe,Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde,共10种,设事件M表示“获得饮水杯的3人中至少有1人的红包超过5元”,
若商家当天的净利润至少是1 400元,令-103+13X≥1 400,解得X≥115.6≈116.所以若商家当天的净利润至少是1 400元时,估计使用该支付软件付款的人数至少是116人.
3.为大力发展乡村经济,城乡各地区开展农村电商培训,如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训.某部门组织A,B两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查,从获取的有效问卷中,针对25至55岁的人群,按比例随机抽取400份,进行数据统计,具体情况如下表:
(1)先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本,将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去.①求这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数;②调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人,安排进入某互联网公司参观学习,求这3人恰好是A组的人数X的分布列和数学期望;(2)从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄(记作m岁)有关”的结论.请列出2×2列联表,用独立性检验的方法,判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小?
(2)按年龄是否达到35岁,整理数据得到如下列联表:
【数学文化简介】数学不仅是一门科学,也是一种文化,即“数学文化”;数学文化是人类文化的重要组成部分,是人类精神与社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.对于数学文化,这在近几年的高考试题中有所体现.我国古代数学里有大量的实际问题,世界的数学宝库中也有很多经典的实例,同时也应了解当前的一些新科技和一些优秀科学家的杰出贡献.将数学文化融合到问题当中,这些问题同时也体现了应用性的考查,要引起学生的重视.比如在《九章算术·方田》《九章算术·商功》《圆锥曲线论》等著作中有较多关于本册知识的典型案例.
【数学文化举例】第一章 直线与圆1.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥(图1).若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴,桥的拱高OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图2),桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2+(y+20.7)2=27.92,求|OP|.
解 设点P坐标为(0,y).在方程x2+(y+20.7)2=27.92中,令x=0,则(y+20.7)2=27.92,解得y=7.2或y=-48.6(舍去).∴|OP|=7.2.
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足 =2,则动点M的轨迹围成的面积为( )A.64πB.16πC.4πD.2π
化简,得x2-10x+9+y2=0,整理,得(x-5)2+y2=42,从而M的轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆,∴动点M的轨迹围成的面积为4×4×π=16π.答案 B
解析 ∵|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,∴AF⊥BF,∴OA=OB=OF=c.设F(c,0),可知∠FAB=30°,
3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合),已知两个圆锥的底面半径均为1,母线长均为2,记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC,BD),用平行于α的平面截圆锥,该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线Γ的一部分,且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线Γ的离心率为( )
解析 两个圆锥的底面半径为r=1,母线长均为l=2,可得圆锥的高为设与平面α平行的平面为β,以AC,BD的交点在平面β内的投影为坐标原点,两圆锥的轴在平面β内的投影为x轴,在平面β内与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.由双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,设双曲线的渐近线方程为
第三章 空间向量与立体几何1.中国古代数学家名著《九章算术》中记载:刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.刍甍取形于茅草屋顶.现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF AB,若这个刍甍的体积为 ,则异面直线AB与CF所成角的余弦值为( )
解析 取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,MN,则多面体被分割为棱柱与棱锥两个部分,
2.我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:今有羡除下广六尺,上广一丈,深三尺;末广八尺,无深;袤七尺,问积几何?该问题中的羡除是指如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,且AB∥CD∥EF,两个底面为直角三角形,且BC⊥CF,AD⊥DE,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成的角的正弦值为( )
解析 如图,五面体ABCDEF中,四边形ABFE,ABCD,EFCD均为等腰梯形,
3.中国古代数学名著《九章算术·商功》中,阐述:“邪解立方得两渐土堵;邪解渐土堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则直线PA与BC所成的角等于 ;直线PB与平面PDC所成角的正弦值等于 .
解析 ∵底面ABCD为矩形,∴AD∥BC,则∠PAD为直线PA与BC所成的角,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即直线PA与BC所成的角等于45°.∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDC,则平面PDC⊥平面ABCD,又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,可得AD⊥平面PDC,又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC,∴∠BPC是直线PB与平面PDC所成的角,∵PD=3,DC=4,∴PC=5,
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有仓广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛.问高几何?”其意思为:“今有一个长方体(记为ABCD-A1B1C1D1)的粮仓,宽3丈(即AD=3丈),长4丈5尺(即AB=4.5丈),可装粟一万斛,问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为2.7立方尺,一丈为10尺,则下列判断正确的是 .(填写所有正确结论的编号) ①该粮仓的高AA1是2丈;②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为 ;③长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为 π平方丈.
解析 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=3丈,AB=4.5丈,V=10 000×2.7×10-3= 27(立方丈),
如图所示,∵AD∥BC,∴∠CBC1是异面直线AD与BC1所成的角,长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径的平方为
综上,正确的结论是①③.
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,在第一章《方田》中,将直角梯形称之为“邪田”,当直角梯形底边横放时,以“头”称其上下底,以“正从”称其高,如图(1),在“邪田”ABCD中,E,F分别在“正从”和“下头”上,沿EF,FD,DE将图形翻折起来,使A,B,C重合为一点O.
(1)求证:OE⊥DF;(2)若在“邪田”ABCD中,“正从”AB=4,“上头”AD=5,试求二面角O-DF-E的平面角的余弦值.
(1)证明 如图(2),依题意E,F分别为AB,BC的中点,且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,∵OF∩OD=O,∴OE⊥平面ODF,∵DF⊂平面ODF,∴OE⊥DF.(2)解 如图(3),过点D作DG⊥BC于G,则AD=5,DG=AB=4,∵OD=DA=DC,∴DC=5,∴CG=3,∵F为BC的中点,又BF+CF=8,∴CF=4,
如图(4),以O为原点,在平面OED中垂直于OF的直线为x轴,OF所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
6.木工技艺是我国传统文化瑰宝之一,体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具不用铁钉,保存到现代却依然牢固,这其中,有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图,是一个楔子形状的直观图.其底面ABCD为一个矩形,其中AB=6,AD=4.顶部线段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=6 ,EF=2,二面角F-BC-A的余弦值为 ,设M,N是AD,BC的中点.
(1)证明:BC⊥平面EFNM;(2)求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 ∵EF∥平面ABCD,且EF⊂平面EFBA,又平面ABCD∩平面EFBA=AB,∴EF∥AB.又M,N是平行四边形ABCD两边AD,BC的中点,∴MN∥AB,∴EF∥MN,∴E,F,M,N四点共面.∵FB=FC,∴BC⊥FN,∴BC⊥平面EFNM.
(2)解 在平面EFNM内过点F作MN的垂线,垂足为H,则由(1)可知:BC⊥平面EFNM,则平面ABCD⊥平面EFNM,
∴FH⊥平面ABCD,又FN⊥BC,HN⊥BC,则二面角F-BC-A的平面角为∠FNH.
过H作边AB,CD的垂线,垂足为S,Q,连接FS,FQ,则AB⊥SQ,AB⊥FH,则AB⊥平面FSQ,由(1)知,EF∥AB,∴EF⊥平面FSQ,∴∠SFQ是所求二面角B-EF-C的平面角.
第五章 计数原理1.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的选法为( )A.45种B.42种C.28种D.16种答案 B
2.杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被行数5整除,则具有类似性质的行是( )A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行
解析 由题意,第6行为1 6 15 20 15 6 1第7行为1 7 21 35 35 21 7 1故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.答案 B
3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的种数是 . 解析 在不超过30的素数中两个不同的数的和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种.答案 3
4.桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.现已知某市一中有2 556名学生,假设没有同学在2月29号过生日,那么在一年365天中最多人过生日的那天,至少有 人同时过生日. 解析 ∵2 556÷365≈7.002 74,∴在一年365天中最多人过生日的那天,至少有8人同时过生日.答案 8
5.已知大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员,现皇帝将大夫、不更、簪袅、上造、公士这5人分成两组(一组2人,一组3人),派去两地执行公务,则大夫、不更恰好在同一组的种数为 . 答案 8
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体方木,要把它制作成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”已知1尺为10寸,现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的块数为 . 解析 由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有6×16=96(块).答案 96
7.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“ ”当作数字“1”,把阴爻“ ”当作数字“0”,则八卦中的四卦所代表的数如表:
依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“ ”表示的十进制数是 .
解析 由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数的010001,转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.答案 17
8.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
若第n行中从左到右第14与第15个数的比为 ,求n的值.
第六章 概率1.如图,我国古代珠算算具——算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面2颗叫上珠,下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗,至少含有一颗上珠的概率为( )
2.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为3的概率为( )
解析 因为阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取1个的所有组合共有5×5=25(个),满足差的绝对值为3的有(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),(9,6),共7个,则所求概率是 .答案 C
3.中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座,每位同学只能选择一门课程,则甲乙两人至少有一人选择“礼”的概率是( )
解析 六门课程讲座,甲乙各选择一门课程的选法总数为6×6=36(种);甲乙两人至少有一人选择“礼”的总数选法为36-5×5=11(种);所以甲乙两人至少有一人选择“礼”的概率是 .答案 D
4.1654年,法国贵族德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡,在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛,约定胜者可以喝一杯酒,当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人采用七局四胜制的方法比赛,两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费,梅雷由于接到命令需要觐见国王,没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设,猜测最后付酒资的最有可能是( )A.肖恩B.尤瑟纳尔C.酒吧伙计D.酒吧老板
∴P(X=4)
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出赛,结果只有胜和负两种,并且每一方三场赛马的马的等级各不相同,三场赛马中至少获胜两场的一方为最终胜利者.(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1 000金,即胜利者赢得对方1 000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
解 (1)记事件A表示“按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜”.对于事件A,三场赛马中,由于有一场必输,则其余两场田忌都胜.因此,P(A)=0.8×0.9=0.72;(2)设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ,则随机变量ξ的可能取值为-1 000和1 000,若比赛一次,田忌获胜,则三场赛马中,田忌输赢的分布为:胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负,设比赛一次,田忌获胜的概率为P,则随机变量ξ的分布列如下表所示:
6.京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ,σ2),同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内),样本数据分别在区间[30,40),[40,50),[50,60), [60,70),[70,80]内,由此得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)在样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为 ,且每个人回答正确与否相互之间没有影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.
解 (1)∵P(ξ<38)=P(ξ>68),由频率分布直方图的性质可得:(0.01+0.03+b+0.02+a)×10=1,0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53,解得a=0.005,b=0.035.
第七章 统计案例1.地摊经济作为推进地方经济社会发展的一个支点,有利于促进经济社会秩序的恢复,小李的流动摊位某商品的售价X元和销售量Y件之间的一组数据如下表所示:
由散点图可知,销售量Y与价格X之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是Y=-3.2X+ ,则 = .
2.2022年春节期间,某支付软件公司推出“红包大行动”,用发红包的方法刺激支付软件的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.2元,2.9元,3.3元,5.9元,4.8元,商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送饮水杯.(1)求获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过5元的概率;(2)统计一周内每天使用该支付软件付款的人数X与商家每天的净利润Y元,得到7组数据,如表所示,并作出了散点图.
①直接根据散点图判断, 中哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.②根据①的判断,建立Y关于X的回归方程;若商家当天的净利润至少是1 400元,估计使用该支付软件付款的人数至少是多少?( ,c,d的值取整数)参考数据:
解 (1)由已知5名顾客中红包超过5元的2人分别记为A,B,不足5元的3人分别记为c,d,e,从这5人随机抽取3人,样本点有ABc,ABd,ABe,Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde,共10种,设事件M表示“获得饮水杯的3人中至少有1人的红包超过5元”,
若商家当天的净利润至少是1 400元,令-103+13X≥1 400,解得X≥115.6≈116.所以若商家当天的净利润至少是1 400元时,估计使用该支付软件付款的人数至少是116人.
3.为大力发展乡村经济,城乡各地区开展农村电商培训,如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训.某部门组织A,B两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查,从获取的有效问卷中,针对25至55岁的人群,按比例随机抽取400份,进行数据统计,具体情况如下表:
(1)先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本,将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去.①求这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数;②调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人,安排进入某互联网公司参观学习,求这3人恰好是A组的人数X的分布列和数学期望;(2)从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄(记作m岁)有关”的结论.请列出2×2列联表,用独立性检验的方法,判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小?
(2)按年龄是否达到35岁,整理数据得到如下列联表:
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