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    章末检测试卷四(第五章)

    (时间:120分钟 满分:150)

    一、单项选择题(本大题共8小题每小题540)

    1(xy)n的二项展开式中m项的系数是(  )

    AC   BC

    CC   D(1)m1C

    答案 D

    解析 (xy)n的二项展开式中第m项为

    TmC(y)m1xnm1

    所以系数为C(1)m1.

    2A18Cm等于(  )

    A9  B8  C7  D6

    答案 D

    解析 Am(m1)(m2)(m3)18·,得m33m6.

    34名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a4名学生在运动会上共同争夺100跳远铅球3项比赛的冠军的可能结果有b(ab)(  )

    A(34,34)   B(43,34) 

    C(34,43)   D(AA)

    答案 C

    解析 由题意知本题是一个分步计数问题,每名学生报名都有3种选择,根据分步乘法计数原理知,4名学生共有34种选择;每项冠军都有4种可能结果,根据分步乘法计数原理知,3项冠军共有43种可能结果

    45名大人带2个小孩排队上山小孩不排在一起也不排在头尾则不同的排法有(  )

    AAA   BAA

    CAA   D(A4A)

    答案 A

    解析 先排大人,有A种排法,去掉头尾后,有4个空位,再分析小孩,用插空法,将2个小孩插在4个空位中,有A种排法,由分步乘法计数原理可知,有AA种不同的排法

    5(2)8的展开式中不含x4项的系数的和为(  )

    A.-1  B0  C1  D2

    答案 B

    解析 (2)8的展开式的通项公式为Tk1C28k·()k(1)k28kC

    x4项的系数为(1)820C1

    (2)8的展开式的系数和为(2)81.

    不含x4项的系数和为110.

    6在某种信息传输过程中4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息不同排列表示不同信息若所用数字只有01则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(  )

    A10  B11  C12  D15

    答案 B

    解析 分类讨论:有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得NCC111.

    7某学校要求错峰有序吃饭高三年级一层楼有甲己六个班排队吃饭甲班不能排在第一位且丙班丁班必须排在一起则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(  )

    A120  B156  C192  D240

    答案 C

    解析 丙、丁捆绑在一起看作一个班,变成5个班进行排列,然后在后面4个位置中选1个排甲,这样可得排法为AAA192()

    8. 如图是在赵爽弦图的基础上创作出的一个数学风车平面模型图中正方形ABCD内部为赵爽弦图(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)ABEBCFCDGDAH4个三角形和赵爽弦图ABCD涂色且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色已知有4种不同的颜色可供选择则不同的涂色方法种数是(  )

    A48  B54  C72  D108

    答案 C

    解析 如图所示,设赵爽弦图ABCD区,ABEBCFCDGDAH4个三角形分别为

    第一步给区涂色,有4种涂色方法;

    第二步给区涂色,有3种涂色方法;

    第三步给区涂色,有2种涂色方法;

    第四步给区涂色,若区与区同色,则区有2种涂色方法;

    区与区不同色,则区有1种涂色方法,区有1种涂色方法

    由分类、分步计数原理可得共有4×3×2×(21×1)72()涂色方法

    二、多项选择题(本大题共4小题每小题520全部选对的得5部分选对的得2有选错的得0)

    9下列问题属于排列问题的是(  )

    A10个人中选2人分别去种树和扫地

    B10个人中选2人去扫地

    C从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队

    D从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算

    答案 AD

    解析 根据题意,依次分析选项:

    对于A,从10个人中选2人分别去种树和扫地,选出的2人有分工的不同,是排列问题;

    对于B,从10个人中选2人去扫地,与顺序无关,是组合问题;

    对于C,从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队,与顺序无关,是组合问题;

    对于D,从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算,顺序不一样,计算结果也不一样,是排列问题

    10. 某城市街道如图某人要走最短路程从A地前往B则不同走法有(  )

    AC  BC  C12  D32

    答案 AB

    解析 因为要从A地到B地路程最短,我们可以在地面画出模型,实地试验探究一下走法可得出:要走的路程最短必须走5步,且不能重复;向东的走法定出后,向南的走法随之确定,所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可,故不同走法的种数有CC.

    11已知n的展开式中各项的二项式系数之和为16则展开式中(  )

    A各项的系数之和为1

    B存在常数项32

    C各项的系数中最大的是24

    Dx的无理项有三项

    答案 BCD

    解析 n的二项式系数之和为16

    2n16,解得n44展开式的通项公式为Tk1Cx4k(2)k

    (2)kC.

    对于A,令x1,则各项的系数之和为(12)41

    A错误;

    对于B,令0,解得k3

    存在常数项(2)3C=-32B正确;

    对于C4x48243216

    各项的系数中最大的是24C正确;

    对于D,当k1,2,4时,对应的项为含x的无理项,D正确

    124个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中不允许有空盒子的放法关于放法的种数下列结论正确的有(  )

    ACCCC   BCA

    CCCA   D18

    答案 BC

    解析 根据题意,4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒子,则三个盒子中有1个盒子中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个,有2种解法:

    方法一 2步进行分析:

    先将4个不同的小球分成3组,有C种分组方法;

    将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A种放法

    则没有空盒的放法有CA

    方法二 2步进行分析:

    4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有CC种情况;

    将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A种放法

    则没有空盒的放法有CCA

    三、填空题(本大题共4小题每小题520)

    13CC(nN)n________.

    答案 4

    解析 由题意可知2n620(n2)2n6n2,解得n4n=-4(舍去)

    14现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察要求每个兴趣小组的带队教师至多2但其中甲教师和乙教师均不能单独带队则不同的带队方案有________(用数字作答)

    答案 54

    解析 当甲、乙带不同兴趣小组时,有AA36(),当甲、乙带同一个兴趣小组时,有CA18(),根据分类加法计数原理可得共有361854()

    15n的展开式的系数和为1二项式系数和为128a________展开式中x2的系数为________

    答案 1 -448

    解析 由题意得所以n7a=-1

    所以7的展开式的通项为

    Tk1C(2)7kkC27k(1)k

    2,解得k1.

    所以x2的系数为C26(1)1=-448.

    16戊五名同学参加某种技术竞赛得出了第一名到第五名的五个名次乙去询问成绩组织者对甲说很遗憾你和乙都未拿到冠军对乙说你当然不会是最差的从组织者的回答分析这五个人的名次排列的不同情况共有____

    答案 54

    解析 根据题意知,甲、乙都没有得到冠军,且乙不是最后一名,分2种情况讨论:

    甲是最后一名,则乙可以是第二名、第三名或第四名,即乙有3种名次排列情况,剩下的三人有A6()名次排列情况,此时有3×618()名次排列情况;

    甲不是最后一名,则甲、乙需要排在第二、三、四名,有A6()名次排列情况,剩下的三人有A6()名次排列情况,此时有6×636()名次排列情况

    综上可知,一共有361854()不同的名次排列情况

    四、解答题(本大题共6小题70)

    17(10)n个正整数全排列后得到的数叫做再生数再生数中最大的数叫做最大再生数最小的数叫做最小再生数

    (1)1,2,3,4的再生数的个数以及其中的最大再生数和最小再生数

    (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数

     (1)1,2,3,4的再生数的个数为A24,其中最大再生数为4 321,最小再生数为1 234.

    (2)需要考查5个正整数中相同数的个数

    5个正整数各不相同,则有A120()再生数;

    若有2个正整数相同,则有60()再生数;

    若有3个正整数相同,则有20()再生数;

    若有4个正整数相同,则有5()再生数;

    5个正整数全相同,则有1个再生数

    18(12)一个口袋内有4个不同的红球6个不同的白球

    (1)从中任取4个球红球的个数不比白球少的取法有多少种

    (2)若取一个红球记2取一个白球记1从中任取5个球使总分不少于7分的取法有多少种

     (1)将取出的4个球分成三类:

    4个红球,没有白球,有C种取法;

    3个红球,1个白球,有CC种取法;

    2个红球,2个白球,有CC种取法,

    故共有CCCCC115()取法

    (2)设取x个红球,y个白球,则

    因此,符合题意的取法有CCCCCC186()

    19(12)某医院有内科医生12外科医生8现选派5名参加研讨会

    (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加共有多少种不同选法

    (2)乙均不能参加有多少种选法

    (3)2人至少有1人参加有多少种选法

    (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生有多少种选法

     (1)只需从其他18人中选3人即可,共有C816()选法

    (2)只需从其他18人中选5人即可,共有C8 568()选法

    (3)分两类:甲、乙中有1人参加;甲、乙都参加则共有CCC6 936()选法

    (4)方法一 (直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类:

    14外;23外;32外;41外.

    所以共有CCCCCCCC

    14 656()选法.

    方法二 (间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求,即共有C(CC)14 656()选法.

    20(12)已知n的展开式中的第2项和第3项的系数相等

    (1)n的值

    (2)求展开式中所有二项式系数的和

    (3)求展开式中所有的有理项

     二项式n的展开式的通项为Tk1Cxnk·kCk(k0,1,2n)

    (1)根据展开式中的第2项和第3项的系数相等,得

    C·C2,即·n2·

    解得n5.

    (2)展开式中所有二项式系数的和为

    CCCC2532.

    (3)二项展开式的通项为

    Tk1Ck(k0,1,25)

    k0,2,4时,对应项是有理项,

    所以展开式中所有的有理项为

    T1C0x5x5

    T3C2x2x2

    T5C4x1.

    21(12)0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数

    (1)在组成的三位数中求所有偶数的个数

    (2)在组成的三位数中若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小则称这个数为凹数301,423等都是凹数试求凹数的个数

    (3)在组成的五位数中求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数

     (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类,

    若个位数为0,则共有A12()符合题意的三位数;

    若个位数为24,则共有2×3×318()符合题意的三位数

    故共有121830()符合题意的三位数

    (2)将这些凹数分为三类:

    若十位上的数字为0,则共有A12()符合题意的凹数

    若十位上的数字为1,则共有A6()符合题意的凹数

    若十位上的数字为2,则共有A2()符合题意的凹数

    故共有126220()符合题意的凹数

    (3)将符合题意的五位数分为三类:

    若两个奇数数字在万位和百位上,则共有AA12()符合题意的五位数;

    若两个奇数数字在千位和十位上,则共有AAA8()符合题意的五位数;

    若两个奇数数字在百位和个位上,则共有AAA8()符合题意的五位数

    故共有128828()符合题意的五位数

    22(12)已知n的展开式的二项式系数之和为256.

    (1)n的值

    (2)若展开式中常数项为m的值

    (3)(xm)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7m的取值情况

     (1)由二项式系数之和为2n256,可得n8.

    (2)设常数项为第k1项,则

    Tk1Cx8kkCmkx82k

    82k0,即k4

    Cm4,解得m±.

    (3)易知m>0,设第k1项系数最大,

    化简可得k.

    由于只有第6项和第7项系数最大,

    所以

    所以m2.

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