高中数学：2.3《条件概率与独立事件》（二） 教案 （北师大选修2-3）

2.3.1条件概率

（第一课时）

教学目标：

了解条件概率及其应用

教学重点：

了解条件概率及其应用

    教学过程

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.

3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为

                     x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；    

⑵P1+P2+…=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即

     5.二点分布：如果随机变量X的分布列为：

6．超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m

则.此时我们称随机变量X服从超几何分布

二、讲解新课：

任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件发生.

   条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间，并希望知道某一事件发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件发生的前提下，事件发生的可能性大小不一定再是.

已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.

在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算.

例1  盒中有球如表. 任取一球，记={取得蓝球}，={取得玻璃球}， 显然这是古典概型. 包含的样本点总数为16，包含的样本点总数为11，故.

如果已知取得为玻璃球，这就是发生条件下发生的条件概率，记作. 在发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在发生条件下包含的样本点数为蓝玻璃球数，故

.

一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当，有

.

这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义.

定义1   对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

.                       (1)

例2  甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：

① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率.

解  分别用，记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按题意有，，，.

① 所求为 

.

② 所求为 

.

课堂小节：本节课学习了条件概率的定义

课堂练习：

课后作业：

2.2.1条件概率

（第二课时）

教学目标：

了解条件概率的简单应用

教学重点：

了解条件概率的简单应用

    教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.

2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

二、讲解新课：

对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

反过来可以用条件概率表示、的乘积概率，即有乘法公式    

若，则,                     (2)

同样有    

若，则.                   

从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成.

两个事件的乘法公式还可推广到个事件，即

                      (3)

具体解题时，条件概率可以依照定义计算，也可能如例1直接按照条件概率的意义在压缩的样本空间中计算；同样，乘积事件的概率可依照公式(2) 或计算，也可按照乘积的意义直接计算，均视问题的具体性质而定.

例1          张彩票中有一个中奖票.

① 已知前面个人没摸到中奖票，求第个人摸到的概率；

② 求第个人摸到的概率.

解  问题 ① 是在条件“前面个人没摸到”下的条件概率. ② 是无条件概率.

记={第个人摸到}，则 ① 的条件是. 在压缩样本空间中由古典概型直接可得

① P ()=；

② 所求为，但对本题，, 由(3)式及古典概率计算公式有

＝()

＝

         .

这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关.

课堂小节：本节课学习了条件概率简单应用

课堂练习：

课后作业：

独立事件

（第一课时）

教学目标：

了解两个事件相互独立的概念

教学重点：

了解两个事件相互独立的概念

    教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.

2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

二、讲解新课：

1、引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的，每次取一个有放回的取两次，设

则

2、两个事件的独立性

事件发生与否可能对事件发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时没有

.                        (1)

这时，. 反过来，若

,                        (2)

则  .

这种情况称与独立.  当时，(1)式与(2)式是等价的，一般情况下独立的定义来用(2)式，因为在形式上它关于与对称，且便于推广到个事件.  (2)式也取消了的条件. 事实上，若, 则, 同时就有，此时不论是什么事件，都有(2)式，亦即任何事件都与独立.  同理任何事件也与必然事件独立.

注：

1）实际应用中，如何判断两事件的独立性？
　　实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。例如，在放回摸球（袋中有白球和红球）试验中， 表示“第一次摸得白球”， 表示“第二次摸得白球”。由于 只与第一次试验有关， 只与第二次试验有关，可知 与 独立，而在不放回摸球试验中，它们却不独立，又如甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，则“甲击中目标”与“乙击中目标”两事件是独立的。

如果对实际问题中的事件还难以判断它们是否独立，则需要利用统计资料进行分析，再来判断是否符合事件独立性的条件。

2）互斥与独立

　　1)两事件 相互独立是指事件 出现的概率与事件 是否出现没有关系，并不是说 间没有关系。相反若 独立，则常有 Ø，即与 不互斥。 互斥是指 的出现必导致 的不出现，并没有说 出现的概率与 是否出现有关系。

　事实上，当 ， 时，若 互斥，则 ，从而 ，但 ，因而等式 不成立，即互斥未必独立。　若 独立，则 ，从而 不互斥（否则， ，导致矛盾）。

　　2)在使用加法公式时，
　　若 互斥，；
　　若 独立，。
　　例1甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.

例2口袋中有只黑球只白球，连摸两次，每次一球. 记={第一次摸时得黑球}，={第二次摸时得黑球}. 问与是否独立？就两种情况进行讨论：① 有放回；② 无放回.

解  因为，我们可以用是否等于来检验独立性. 对于情况 ①，利用古典概型，有，再利用全概率公式，得

.

故，与相互独立.

对于情况 ②，此时，， 再利用全概率公式，有

，

与不独立.

这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关.

课堂小节：本节课学习了两个事件相互独立的概念

课堂练习：

课后作业：

独立事件

（第二课时）

教学目标：

了解两个事件相互独立的概念及简单应用

教学重点：

了解两个事件相互独立的概念及简单应用

    教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.

2. 对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

3. 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即    .

称与独立

二、讲解新课：

1、多个事件的独立性

对个事件，除考虑两两的独立性以外，还得考虑其整体的相互独立性. 以三个事件, , 为例.

定义  若

                      (1)

且      

                   (2)

则称, , 相互独立. (1)式表示, , 两两独立，所以独立包含了两两独立. 但, , 的两两独立并不能代替三个事件相互独立，因为还有(2)式. 那么(1)式是否包含(2)式呢？回答是否定的，有例如下：

例 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面为白色，第三面为黑色，第四面红白黑三色都有. 分别用, , 记投一次四面体时底面出现红、白、黑的事件. 由于在四面体中有两面出现红色，故；同理,；同时出现两色或同时出现三色只有第四面，故

,

因此

, ， ，

(1)式成立，, , 两两独立. 但 ,

即(2)式不成立.

2、例子

      一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性.  现有两系统都由同类电子元件, , 、所组成.每个元件的可靠性都是，试分别求两个系统的可靠性.

解  以与分别记两个系统的可靠性，以, , 、分别记相应元件工作正常的事件，则可认为, , 、相互独立，有

,

.

显然.

可靠性理论在系统科学中有广泛的应用，系统的可靠性的研究具有重要意义.

课堂小节：本节课学习了事件相互独立的简单应用

课堂练习：

课后作业：