新教材2023年高中数学本册综合测试北师大版选择性必修第一册

本册综合测试

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　C　)

A．10种　　 B．20种　　　　

C．25种　　 D．32种

[解析]　每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有5×5＝25 (种)选法．故选C．

2．某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用回归模型y＝2lgx进行拟合．在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该(　D　)

A．使x增加1个单位

B．使x增加2个单位

C．使x增加到原来的2倍

D．使x增加到原来的10倍

[解析]　由y＝2lgx，得y＋2＝2lgx＋2＝2(lgx＋1)＝2lg(10x)，所以应该使x增加到原来的10倍．故选D．

3．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线与直线2x＋y＝1平行，则m的值为(　B　)

A．0　　 B．－8　　

C．2　　 D．10

[解析]　方法1：∵＝(m＋2,4－m)，直线2x＋y＝1的一个方向向量为(1，－2)，

∴4－m＝－2(m＋2)，解得m＝－8，

经检验m＝－8时两直线不重合，符合题意．

方法2：已知直线2x＋y＝1的斜率为－2，所以＝－2，解得m＝－8.

经检验m＝－8时两直线不重合，符合题意．

4．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，截得的弦长最大的直线的方程是(　A　)

A．3x－y－5＝0　　 B．3x＋y－7＝0

C．x＋3y－5＝0　　 D．x－3y＋5＝0

[解析]　由题意得所求直线过点(2,1)和圆心(1，－2)，∴其方程为＝，整理得3x－y－5＝0.

5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是(　A　)

A．0.665　　 B．0.56

C．0.24　　 D．0.285

[解析]　设A＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A、B相互独立，则事件AB＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．

∵P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.

6．在(2＋x)6(1＋y)m的展开式中，令x3y的系数为800，则xy4的系数为(　B　)

A．30　　 B．960　　

C．300　　 D．360

[解析]　(2＋x)6的展开式中x3的系数为C×23，(1＋y)m的展开式中y的系数为C，所以x3y的系数为C×23×C，所以C×23×C＝800，即160m＝800，解得m＝5，所以(2＋x)6的展开式中x的系数为C×25，(1＋y)5的展开式中y4的系数为C，所以xy4的系数为C×25×C＝6×32×5＝960，故选B．

7．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X≤4－a)等于(　C　)

A．0.32　　 B．0.68　　

C．0.36　　 D．0.64

[解析]　如图，由正态曲线的对称性可得P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36. 故选C．

8．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布15项“世界互联网领先科技成果”，有5项成果属于“芯片领域”，分别为华为技术有限公司“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉公司“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武记公司“思元270”、赛灵思公司“Versal自适应计算加速平台”．若从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，则至少有1项属于“芯片领域”的概率为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　解法一：已知这 15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于“芯片领域”．记从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，至少有1项属于“芯片领域”为事件A，则：选出的3项都不属于“芯片领域”．易知P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝.

解法二：已知这 15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于“芯片领域”．记从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，至少有1项属于“芯片领域”为事件A，X为选出的3项中属于“芯片领域”的项数，则P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．某机构在研究是否爱好拳击运动与性别的关系时，通过收集数据得到如下2×2列联表.

经计算得χ2＝≈6.895.之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布N(175,16)和N(164,9)，则下列选项中正确的是(　AD　)

附：

A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击”运动与性别有关

B．在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击

C．男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16

D．女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为3

[解析]　χ2≈6.895>6.635，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为爱好拳击运动与性别有关，所以A对；100个男生中，有可能都不爱好打拳击，B错；男生身高的标准差为4，C错；显然D对，故选AD．

10．若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值可以为(　BC　)

A．－17　　 B．17　　

C．－1　　 D．1

[解析]　∵|a|＝，|b|＝，

∴a·b＝|a||b|cos120°＝－××＝－2－λ－2＝－4－λ，

∴λ2－16λ－17＝0，∴λ＝17或λ＝－1.

故选BC．

11．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是(　ACD　)

A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4

B．C的离心率为

C．C上的点到F距离的最小值为2

D．过F的最短的弦长为

[解析]　∵2a＝6,2c＝10，∴a＝3，c＝5，b＝4.

双曲线－＝1的渐近线上的点到F的距离的最小值为b＝4，故A正确；

离心率e＝＝，故B错误；双曲线C上的点到F的距离的最小值为2，故C正确；过点F的最短的弦长为＝，故D正确．

12．下列说法中正确的有(　ABD　)

A．一支田径队有男、女运动员共98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是12人

B．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2 )(σ>0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4.则X在(0,2)内取值的概率为0.8

C．废品率x%和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为＝2x＋256，这表明废品率每增加1%，生铁成本每吨大约增加258元

D．为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得χ2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P(χ2≥3.841 )≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”

[解析]　∵田径队有男、女运动员共98人，其中男运动员有56人，

∴这支田径队有女运动员98－56＝42 (人)，

用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个 容量为28的样本，

∵每个个体被抽到的概率是＝.

∵田径队有女运动员42人，

∴女运动员要抽取42×＝12(人)．故A正确．

根据正态分布的规律，测量结果X服从正态分布

N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为2×0.4＝0.8.故B正确．

废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为＝2x＋256，

这表明废品率每增加1%，生铁成本每吨大约增加2元．

故C不正确．

根据独立性检验的方法与结论可知，D正确．故选ABD．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表：

根据上表可得回归直线方程为＝1.3x＋.若该设备的维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用_9__年．

[解析]　由题表得＝＝4，＝＝5.1，故代入回归直线方程可得＝5.1－1.3×4＝－0.1，所以回归直线方程为＝1.3x－0.1，当y＝12时，x≈9.

14．某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，记X∈(90,110]为事件A，X∈ (80,100]为事件B，则P(B|A)＝___.(结果用分数表示)

附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ －2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.

[解析]　由题意得，P(A)≈47.7%，P(AB)≈×(95.4%－68.3%)＝13.55%，∴P(B|A)≈＝.

15．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是___.

[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.

令AB＝2，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)．

∴＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)．

∴cos〈，〉＝＝，

∴异面直线EF与BC的夹角为.

16．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝___，E(ξ)＝_1__.

[解析]　1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A＝12(种)排列．

①红球前面没有黄球，有A＋1＝4(种)，

P(ξ＝0)＝＝；

②红球前面有1个黄球，有A＋A＝4(种)，

P(ξ＝1)＝＝；

③红球前面有2个黄球，有1＋A＝4(种)，

P(ξ＝2)＝＝.

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知5.

(1)求展开式中的系数；

(2)设5的展开式中前三项的二项式系数之和为M，(1＋ax)6的展开式中各项系数之和为N，若4M＝N，求实数a的值．

[解析]　(1)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)5－rr＝(－1)r25－rCx5－r(r＝0,1,2,3,4,5)．

令5－r＝－1，则r＝4，∴展开式中含的项为T4＋1＝(－1)4·2·C·x－1＝，

所以展开式中的系数为10.

(2)由题意可知，M＝C＋C＋C＝16，N＝(1＋a)6.

因为4M＝N，所以(1＋a)6＝64，所以a＝1或a＝－3.

18．(本小题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排．

(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？

(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？

(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？

[解析]　(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A种排法，五名徒弟在内部全排列有A种，据乘法原理排法共有AA＝86 400(种)．

(2)先将五位师傅全排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A种排法，据乘法原理，排法共有AA＝86 400(种)．

(3)先将五位师傅排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A种排法，据乘法原理排法共有2AA＝28 800(种)．

19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.

(1)证明：PC⊥AD；

(2)求二面角A－PC－D的正弦值．

[解析]　如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)．

(1)易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，

则·＝0，所以PC⊥AD.

(2)易得＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．

由得

令z＝1，可得n＝(1,2,1)．

又＝(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，

所以cos〈，n〉＝＝，

从而sin〈，n〉＝.

所以二面角A－PC－D的正弦值为.

20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，设点F(1,0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

(1)求动点Q的轨迹方程；

(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．

[解析]　(1)因为点F(1,0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．

因为|PQ|是点Q到直线l的距离，

而|PQ|＝|QF|，所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，

直线AB：x＝my＋1(m≠0)，

则

消去x得y2－4my－4＝0.

于是，有yM＝＝2m，

xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，

即M(2m2＋1,2m)．

同理，N.

因此，直线MN的斜率kMN＝＝，

直线MN的方程为y－2m＝(x－2m2－1)，

即mx＋(1－m2)y－3m＝0.

显然，不论m为何值，(3,0)均满足方程 ，所以直线MN过定点(3,0)．

21．(本小题满分12分)“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动．每到这一天， 家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利．为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄分布在 20～80岁之间的60人，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图(如图所示)，其中参与了“行通济”活动的人数如下表．规定年龄(单位：岁)在[20,60)内的为“中青年人”，60岁以上(含60岁)的为“老年人”.

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗？

(2)用样本来估计总体，从年龄在[20,80]内的佛山市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

参考数据：

[解析]　(1)由题中的频率分布直方图可知，样本中“老年人”的人数为60×(0.01＋0.01)×10＝12.由表中数据可知，参与“行通济”活动的人中，“老年人”有8人，“中青年人”有12人，所以完成的2×2列联表如下：

根据列联表中的数据，可得χ2的观测值为

k＝＝7.5>6.635，

所以有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗．

(2)因抽取的年龄分布在20～80岁之间的60人的样本中“老年人”有12人，所以从年龄在[20,80]内的佛山市民中抽取1人恰好是“老年人”的概率为，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B，则

P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝C××2＝，P(ξ＝2)＝C×2×＝，P(ξ＝3)＝3＝.

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为E(ξ)＝3×＝.

22．(本小题满分12分)某投资公司准备在2022年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择．

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.

(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；

(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1.

[解析]　(1)若按项目一投资，设获利为ξ1，则ξ1的分布列为

故E(ξ1)＝300×＋(－150)×＝200.

若按项目二投资，设获利为ξ2，则ξ2的分布列为

故E(ξ2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.

又D(ξ1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，D(ξ2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，

故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该投资公司选择投资项目一．

(2)假设n年后总资产可以翻一番，依题意可得1 000×n＝2 000，即1.2n＝2，

两边同时取对数得

n＝＝≈≈3.805 3，

又n∈N*，所以n＝4.

故大约在2025年的年底总资产可以翻一番．