新教材2023_2024学年高中数学第二章导数及其应用培优课导数的综合应用课件北师大版选择性必修第二册

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第2章培优课　导数的综合应用重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引 重难探究·能力素养全提升探究点一　导数在解决实际问题中的应用【例1】 某保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶,最少1千瓶,经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N+,单位:千瓶)间的关系为 ,每生产一瓶正品盈利4元,每生产一瓶次品亏损2元.(注:正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%)(1)将日利润y(单位:元)表示成日产量x的函数;(2)求该种饮品的最大日利润.解 (1)由题意,知每生产1千瓶正品盈利4 000元,每生产1千瓶次品亏损2 000元,(2)令f(x)=- x3+3 600x,x∈[1,40],则f'(x)=3 600-4x2.令f'(x)=0,解得x=30或x=-30(舍去).当1≤x<30时,f'(x)>0;当300,f(x)单调递增;当x∈(1,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c.又f(3)=9+8c>f(1),∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.∵对任意的x∈[0,3],有f(x)9.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).(2)由(1)知f(x)0,解得x>-1;令f'(x)<0,解得x<-1,∴f(x)的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).(2)证明 g(x)=xex-x-ln x-1,定义域为(0,+∞),设h(x)=xex-1(x>0),由(1)可知当x>0时,f(x)=xex单调递增,∴h(x)在(0,+∞)内单调递增,∴当x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减;当x0∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)≥g(x0)= -x0-ln x0-1=1-0-1=0,即g(x)≥0在区间(0,+∞)内恒成立.规律方法　1.证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性.2.证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式,一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体,另一种方法为转化后利用函数的单调性,如不等式f(x1)+g(x1)0,g(x)单调递增,当10,e1-a>1,则f(e1-a)=所以f(x)在区间(0,e]上无零点.综上,当a=1时,f(x)在区间(0,e]上只有一个零点,当a<1时,f(x)在区间(0,e]上无零点.规律方法　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值、最值,通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.变式训练4[2023湖北武汉高二校联考期中]已知函数f(x)=ax(x-1)-ln x (a∈R).(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)+ x(2-ax)有两个不同的零点,求a的取值范围.解 (1)当a=3时,f(x)=3x2-3x-ln x,所以f'(x)=6x-3- ,根据导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2,又因为f(1)=0,所以所求切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.当a>0时,由g'(x)<0,得x∈(0,1),所以g(x)在(0,1)内单调递减;由g'(x)>0,得x∈(1,+∞),所以g(x)在(1,+∞)内单调递增.所以g(x)在x=1处取得唯一极小值,也是最小值,g(1)=- a+1.要使g(x)有两个不同的零点,则必有g(1)<0,即- a+1<0,解得a>2.因为g(2)=2a-2(a-1)-ln 2=2-ln 2>0,根据零点存在定理可知,∃x1∈(1,2),使得g(x1)=0,且g(x)在[2,+∞)内没有零点.因为g(x)= a(x2-2x)+x-ln x,当x∈(0,1)时,有x2-2x+1=(x-1)2>0,所以x2-2x>-1.又因为x2-2x=x(x-2)<0,所以-11时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)内单调递增.所以g(x)在x=1处取得唯一极小值,也是最小值,g(1)=1>0,所以g(x)≥g(1)=1,此时g(x)无零点.综上所述,g(x)在区间( ,1)以及(1,2)内各有一个零点,在区间(0, ]以及[2,+∞)内没有零点,所以g(x)有两个零点,故a>2满足题意.当a=0时,g(x)=x-ln x,g'(x)=所以g(x)在(0,1)内无零点.又因为g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以g(x)在区间(1,+∞)内至多有一个零点.所以g(x)至多有一个零点,不符合题意.综上所述,a的取值范围是(2,+∞).成果验收·课堂达标检测12341.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为(　　)C12342.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<1(x∈R),则不等式f(x)1.12343.[2023江西九江瑞昌第一中学校联考模拟预测]已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中正确的是(　　)A.eπ>πe>3e B.πe>3e>eπ C.eπ>3e>e3 D.3e>eπ>e3A解析 先判断πe,eπ及e3,3e大小,即π,eln π及3,eln 3的大小,设函数f(x)=x-eln x,则f'(x)= ,当0e时,f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)内单调递增.因此f(x)min=f(e)=eln e-e=0,故π>eln π,3>eln 3,故eπ>πe,e3>3e,所以eπ>πe>3e,其他选项均错误.故选A.12344.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点,则a的取值范围是　 . (-2,2)解析 f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,得x=1或x=-1.因为当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以f(x)极小值=f(1)=-2,f(x)极大值=f(-1)=2.函数y=x3-3x的大致图象如图所示,所以-2