新教材2023_2024学年高中数学第六章概率测评北师大版选择性必修第一册

第六章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是(　　)

A.第一次出现的点数

B.第二次出现的点数

C.两次出现点数之和

D.两次出现相同点的种数

2.随机变量X的分布列如下,且EX=,则(　　)

A.a=,DX=1 B.a=,DX=1

C.a=,DX= D.a=,DX=

3.两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　)

A. B. C. D.

4.甲、乙两选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,若采用三局两胜制,则甲最终获胜的概率为(　　)

A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648

5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=(　　)

A.0.16 B.0.32 

C.0.68 D.0.84

6.如果甲、乙、丙三人通过某次考试的概率分别为,那么三人中恰有两人通过的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是(　　)

A. B. C. D.

8.设X~B(4,p),其中0<p<,且P(X=2)=,那么P(X=1)=(　　)

A. B. C. D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),对应的两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中不正确的是(　　)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)

D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)

10.下列说法中正确的是(　　)

A.设随机变量X服从二项分布B6,,则P(X=2)=

B.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)=

C.某射击选手射击一次,击中目标的次数为随机变量X,则X服从两点分布

D.E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=2DX+3

11.一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)

A.X的所有可能取值是3,4,5

B.X最有可能的取值是5

C.X等于3的概率为

D.X的均值是

12.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是(　　)

A.P(B)=

B.P(B|A1)=

C.事件B与事件A1相互独立

D.A1,A2,A3是两两互斥的事件

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.某同学罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,则P(X=0)=　　　　　. 

14.已知X~B3,,且Y=-5X+2,则Y的方差为　　　　　. 

15.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛,如果每局比赛甲获胜的概率是,乙获胜的概率是,采用5局3胜制,则恰好打了4局比赛结束的概率为　　　　(结果用分数表示). 

16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为　　　　,第三个人摸到中奖彩票的概率为　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某校组织“创建文明城区”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类,然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答,若回答错误则比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,比赛结束.A类问题回答正确得30分,否则得0分;B类问题回答正确得10分,否则得0分.已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.5,能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.8,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列和均值EX.

(2)为使累计得分的均值最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为,求透镜落下三次未打破的概率.

19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为.

(1)求该小组中女生的人数;

(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为,每个男生通过的概率均为;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和均值.

20.(12分)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选;

(1)求甲恰有2道题目答对的概率;

(2)求乙答对的题目数X的分布列;

(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.

21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),…,第六组[135,145],得到的频率分布直方图如图所示.

(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩(用各组的组中值代替实际数据);

(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和均值.

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.

22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4 000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.

(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;

(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;

(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?

参考数据:≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 4,1+2+3+…+n=

参考答案

第六章测评

1.D

2.C　由已知可得解得所以DX=-1-2×+0-2×+1-2×,故选C.

3.B　记事件A1为取出的一个零件是第一台机床加工的,事件A2为取出的一个零件是第二台机床加工的,事件B为取出的一个零件是合格品,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=1-0.03=0.97,P(B|A2)=1-0.02=0.98,故P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=0.97×+0.98×,故选B.

4.D　由题意可得甲最终获胜有两种情况:一是前两局甲获胜,概率为0.6×0.6=0.36,二是前两局甲一胜一负,第三局甲胜,概率为×0.6×0.4×0.6=0.288,这两种情况互斥,故甲最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648.故选D.

5.A

6.C　甲、乙、丙三人通过考试的概率分别为,

则三人中恰有两人通过的概率为×1-+×1-×+1-×.

故选C.

7.B

8.D　根据题意得P(X=2)=p2(1-p)2=,

即p2(1-p)2=2×2,

解得p=或p=(舍去),

故P(X=1)=p(1-p)3=.

故选D.

9.ABD　因为X~N(μ1,),Y~N(μ2,),由图可知,两图象分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,显然μ1<μ2,

因为X的正态曲线“高瘦”,Y的正态曲线“矮胖”,故σ1<σ2.

故P(Y≥μ1)>P(Y≥μ2),P(X≤σ2)>P(X≤σ1),所以A,B错误;

对任意的正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),则P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.

故选ABD.

10.BC　对于A,设随机变量X服从二项分布B6,,则P(X=2)=2×1-4=,错误;对于B,由条件概率的公式知,P(B|A)=,得P(A)=,正确;对于C,某射击选手射击一次,击中目标的次数为随机变量X,则X服从两点分布,正确;对于D,E(2X+3)=2EX+3,正确,D(2X+3)=2DX+3错误,应该为D(2X+3)=4DX,故不正确.故选BC.

11.ACD　记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,任取3个球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A.

A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5.

P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,

所以X最有可能的取值是4,EX=3×+4×+5×.

故选ACD.

12.BD　由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,

P(B|A1)=,由此知,B正确.

P(B|A2)=,P(B|A3)=,

而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=,又因为P(A1B)=,P(A1)P(B)=,所以P(A1B)≠P(A1)P(B).由此知,A,C不正确;

A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知D正确.

故答案为BD.

13.0.15　∵罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,∴P(X=0)=1-0.85=0.15.

14.18　∵DX=3×,

∴DY=(-5)2×=18.

15.　甲3∶1获胜的概率P1=×2×,乙3∶1获胜的概率P2=×2×,故恰好打4局比赛结束的概率P=P1+P2=.

16.　记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=,而P(A2)=P[A2(A1∪)]=P(A2A1)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×0+,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪)]=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)+P(A3)=0+0+0+P(A3)=P()P()·P(A3|)=.

17.解 (1)得分情况有三种可能性,X的可能取值为0,30,40,

P(X=0)=1-0.5=0.5,

P(X=30)=0.5×(1-0.8)=0.1,

P(X=40)=0.5×0.8=0.4,

∴X的分布列为

EX=0×0.5+30×0.1+40×0.4=19.

(2)由(1)知,若小明先回答A类问题,则EX=19.

若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,

则Y的可能取值为0,10,40,

P(Y=0)=1-0.8=0.2,

P(Y=30)=0.8×(1-0.5)=0.4,

P(Y=40)=0.8×0.5=0.4,

∴EY=0×0.2+10×0.4+40×0.4=20.

∵19<20,即EX<EY,

∴小明应选择先回答B类问题.

18.解 以Ai,i=1,2,3表示事件“当透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,因为B=,

所以P(B)=P()=P()P()P()=1-×1-×1-=.

19.解 (1)设该小组中有n名女生,

根据题意,得,n>5,

解得n=6或n=4(舍去),∴该小组中有6名女生.

(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,

P(ξ=0)=,

P(ξ=1)=+2×,

P(ξ=2)=+2×,

P(ξ=3)=2×,

∴ξ的分布列为

Eξ=0×+1×+2×+3×.

20.解 (1)∵甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,

∴选中的4道题目甲恰有2道题目答对的概率P=22=.

(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=,

∴X的分布列如表所示.

(3)∵乙平均答对的题目数EX=2×+3×+4×,甲答对题目数Y~B4,,甲平均答对的题目数EY=4×.

∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.

21.解 (1)由题中频率分布直方图,可知成绩在[125,135)内的频率为1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.

所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).

(2)由题意,得P(120-3×5<X≤120+3×5)≈0.9974,

故P(X≥135)≈=0.0013,则0.0013×10000=13,所以排名在前13的成绩全部在135分及以上.

根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内的学生有50×(0.12+0.08)=10(人),

所以Y的所有可能取值为0,1,2,3.

所以P(Y=0)=,

P(Y=1)=,

P(Y=2)=,

P(Y=3)=.

所以Y的分布列为

EY=0×+1×+2×+3×.

22.解 (1)样本中成绩不低于60分的学生有(0.0125+0.0075)×20×100=40(人),其中成绩不低于80分的有0.0075×20×100=15(人),则至少有1人成绩不低于80分的概率为1-.

(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,

所以μ=53,σ2=362,所以σ≈19,

所以Z~N(53,362),则P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)≈×(1-0.9544)=0.0228,

故估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.0228×4000≈91.

(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,

所以EX=2Eξ=1.5n.

依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),设甲答完n题期望得到的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,∵n∈N+,∴当n=7时,M(n)取最大值104.9,即期望得到复赛成绩的最大值为104.9.

所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7