高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率本章综合与测试课时训练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率本章综合与测试课时训练，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n.如果P(ξ<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
2．已知离散型随机变量ξ的分布列为
则均值Eξ＝( )
A．1 B．0.3 C．2＋3m D．2.4
3．若ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))，则P(ξ≥2)等于( )
A.eq \f(11,1 024) B.eq \f(501,512) C.eq \f(1 013,1 024) D.eq \f(507,512)
4．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝( )
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
5．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的方差是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4) C．1 D.eq \f(3,2)
6．由1,2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字为1”，用B表示事件“百位数字为1”，则P(A|B)＝( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
7．甲、乙两人参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2的概率为( )
A.eq \f(1,30) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,2)
8．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局，若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为( )
A.eq \f(8,125) B.eq \f(12,125) C.eq \f(36,125) D.eq \f(54,125)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法不正确的是( )
A．P(B|A)C．010．若随机变量η的分布列如下：
则当P(ηA．1 B．1.5 C．2 D．2.5
11．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等．若P(X>2)＝p，则下列结论正确的有( )
A．μ＝0 B．σ＝2
C．P(012．某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生．现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为eq \f(728,729)，则( )
A．该班级共有36名学生
B．第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为eq \f(2,3)
C．抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是eq \f(160,729)
D．设抽取的6名学生中女生数量为X，则D(X)＝eq \f(4,3)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))k，k＝1,2,3，则m的值为________．
14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试．根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为eq \f(3,4)、eq \f(2,3)、eq \f(3,5)，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为________．
15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.
16．设随机变量X的分布列如下：
若p≥eq \f(1,5)，则EX的最大值是________，DX的最大值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动．
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(A|B)．
18．(本小题满分12分)
在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．
19．(本小题满分12分)
袋中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从袋中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列．
20．(本小题满分12分)
某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务，该市教育部门随机抽取了全市200位高中学生参加社区服务时间的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．
(1)求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
(2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生，记X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数，试求随机变量X的分布列与期望．
21．(本小题满分12分)
为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为
经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.
(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X(kg)，并根据以下不等式进行评判，①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级．
(2)将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值E(Y)．
22．(本小题满分12分)
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有金额的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的金额之和为该顾客所获得的奖励金额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的金额为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获得的奖励金额为60元的概率；
②顾客所获得的奖励金额的分布列及数学期望．
(2)商场对奖励总金额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有金额10元和50元的两种球，或标有金额20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总金额尽可能符合商场的预算，且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个球的金额给出一个合适的设计，并说明理由．
章末质量检测(五) 概率
1．解析：∵ξ是等可能取值，
∴P(ξ＝k)＝eq \f(1,n)(k＝1，2，…，n)，
∴P(ξ<4)＝eq \f(3,n)＝0.3，∴n＝10.故选C.
答案：C
2．解析：m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以Eξ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.故选D.
答案：D
3．解析：P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(10)－C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(9)＝1－eq \f(1,1024)－eq \f(10,1024)＝eq \f(1013,1024).故选C.
答案：C
4．解析：因为ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，所以P(ξ<－2)＝0.5－0.4＝0.1，所以P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.1.故选A.
答案：A
5．解析：同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现两枚正面向上的概率P＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)
所以2枚硬币均正面向上的次数X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))
所以DX＝4×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,4).
答案：B
6．解析：P(B)＝eq \f(1×2×2,2×2×2)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1×1×2,2×2×2)＝eq \f(1,4)，
∴P(A|B)＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(1,2).故选C.
答案：C
7．解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，n＝3，
则P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,2).故选D.
答案：D
8．解析：由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5)，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＝eq \f(36,125).故选C.
答案：C
9．解析：由条件概率公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)及0答案：ACD
10．解析：由分布列知，P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，P(η<2)＝0.8，故1答案：BC
11．解析：因为正态分布N(μ，σ2)关于x＝μ对称，又X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1，3)内的概率相等，所以μ＝0，A正确；因为正态分布N(μ，σ2)关于x＝μ对称，
所以P(X>0)＝eq \f(1,2)，∴P(00)－P(X≥2)＝eq \f(1,2)－p，C正确；
P(X<－2)＝P(X>2)＝p，σ不确定，所以B，D错误；故选AC.
答案：AC
12．解析：设该班级每个小组共有n名女生，
∵抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为eq \f(728,729)，
∴抽取的6名学生中没有男生(即6名学生全为女生)的概率为1－eq \f(728,729)＝eq \f(1,729)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋4)))eq \s\up12(6)＝eq \f(1,729)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(6)，解得n＝2，
∴每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生，
∴该班级共有36名学生，则A对；
∴第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为eq \f(1,6)，则B错；
抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,6)))eq \s\up12(3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,6)))eq \s\up12(3)＝eq \f(160,729)，则C对；
设抽取的6名学生中女生数量为X，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，则DX＝6×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,3)，则D对；故选ACD.
答案：ACD
13．解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，
即meq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(3)))＝1，所以m＝eq \f(27,38).
答案：eq \f(27,38)
14．解析：因三人中有一人或两人达标，其概率为1－eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(3,5)－eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
15．解析：X～B(100，0.02)，所以DX＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案：1.96
16．解析：①由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤\f(1,3)－p≤\f(1,3)，,0≤p≤\f(1,3)，,p≥\f(1,5)，))
解得eq \f(1,5)≤p≤eq \f(1,3).
因为EX＝0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2p＋\f(1,3)))＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－p))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－p))＝1－3p≤eq \f(2,5)，
所以EX的最大值是eq \f(2,5)，
②因为
DX＝[0－(1－3p)]2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2p＋\f(1,3)))＋[1－(1－3p)]2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－p))＋[2－(1－3p)]2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－p))＝－9p2＋p＋eq \f(2,3)，
因为eq \f(1,5)≤p≤eq \f(1,3)，所以DX≤eq \f(38,75)，
所以DX的最大值是eq \f(38,75).
答案：eq \f(2,5) eq \f(38,75)
17．解析：(1)从6人中任选3人，选法共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝20(种)，
其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,20)＝eq \f(1,5).
故男生甲或女生乙被选中的概率为1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(2)由题知，P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ,20)＝eq \f(1,2).又P(B)＝P(A)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,20)＝eq \f(1,5)，所以P(A|B)＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(2,5).
18．解析：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，
则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.
因为Eξ＝10×0.8＝8，Dξ＝10×0.8×(1－0.8)＝1.6，
所以Eη＝E(3ξ＋2)＝3Eξ＋2＝3×8＋2＝26(分)，
Dη＝D(3ξ＋2)＝32×Dξ＝9×1.6＝14.4.
所以小李在比赛中得分的数学期望为26分，方差为14.4.
19．解析：(1)记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A，
则P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(2,3).
(2)随机变量X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,30)，P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(2,15)，
P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(3,10)，P(X＝5)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(8,15)，
所以随机变量X的分布列为
20.解析：(1)根据题意及题图得，参加社区服务时间在[90，95)内的学生人数为200×0.06×5＝60，
参加社区服务时间在[95，100]内的学生人数为200×0.02×5＝20，
∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80.
∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率P＝eq \f(80,200)＝eq \f(2,5).
(2)由(1)可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为eq \f(2,5).
由题意得，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(27,125)；
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(54,125)；
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(1)＝eq \f(36,125)；
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(0)＝eq \f(8,125).
∴随机变量X的分布列为
∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5)))，∴EX＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5).
21．解析：(1)由题意得P(μ－σ0.6826，
P(μ－2σP(μ－3σ(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P＝eq \f(6,100)＝eq \f(3,50)，
由题意知Y服从二项分布，
即Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(3,50)))，
所以EY＝5×eq \f(3,50)＝0.3.
22．解析：(1)①设顾客所获得的奖励金额为X.
依题意，得P(X＝60)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) )＝eq \f(1,2)，
即顾客所获得的奖励金额为60元的概率为eq \f(1,2).
②依题意，得X的所有可能取值为20，60.
P(X＝20)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) )＝eq \f(1,2)，P(X＝60)＝eq \f(1,2)，
即X的分布列为
所以EX＝20×eq \f(1,2)＋60×eq \f(1,2)＝40.
(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励金额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案．
对于金额由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是金额之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是金额之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.
对于金额由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获得的奖励金额为X1，则X1的分布列为
X1的数学期望EX1＝20×eq \f(1,6)＋60×eq \f(2,3)＋100×eq \f(1,6)＝60，
X1的方差DX1＝(20－60)2×eq \f(1,6)＋(60－60)2×eq \f(2,3)＋(100－60)2×eq \f(1,6)＝eq \f(1600,3).
对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获得的奖励金额为X2，则X2的分布列为
X2的数学期望EX2＝40×eq \f(1,6)＋60×eq \f(2,3)＋80×eq \f(1,6)＝60，
X2的方差DX2＝(40－60)2×eq \f(1,6)＋(60－60)2×eq \f(2,3)＋(80－60)2×eq \f(1,6)＝eq \f(400,3).
由于两种方案的奖励金额的期望都符合要求，但方案2的奖励金额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2，
即袋中的4个球，其中2个标金额20元，2个标金额40元．
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
1
2
P
2p＋eq \f(1,3)
eq \f(1,3)－p
eq \f(1,3)－p
重量
kg
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
合
计
包数
1
1
3
5
6
19
34
18
3
4
2
1
2
1
100
X
2
3
4
5
P
eq \f(1,30)
eq \f(2,15)
eq \f(3,10)
eq \f(8,15)
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
20
60
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
X1
20
60
100
P
eq \f(1,6)
eq \f(2,3)
eq \f(1,6)
X2
40
60
80
P
eq \f(1,6)
eq \f(2,3)
eq \f(1,6)