选择性必修 第一册4.2 超几何分布精练

第六章4.2　超几何分布

A级 必备知识基础练

1.今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为(　　)

A. B.

C.1- D.

2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是(　　)

A.P(X=2) B.P(X≤2)

C.P(X=4) D.P(X≤4)

3.(多选题)[2023浙江宁波北仑中学校考期中]袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则下列结论中正确的是(　　)

A.取出的白球个数X服从二项分布

B.取出的黑球个数Y服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为

D.取出球总得分最大的概率为

4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于　　　　. 

5.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是　　　　. 

6.[2023湖北十堰东风高级中学校考阶段练习]吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘粽子装有10个,其中红豆粽2个,肉粽3个,蛋黄粽5个,假设这三种粽子除馅料外,外观完全相同,从中任意选取3个.

(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率;

(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率;

(3)设ξ表示取到的红豆粽个数,求ξ的分布列与数学期望.

B级 关键能力提升练

7.某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”,则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为(　　)

A. B. C. D.

8.一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是(　　)

A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)

C.P(X=1) D.P(X=2)

9.设袋中有80个球,其中40个红球,40个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中任取两球,则所取的两球同色的概率为(　　)

A. B.

C. D.

10.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为的事件是(　　)

A.没有白球 

B.至少有一个白球

C.至少有一个红球 

D.至多有一个白球

11.(多选题)已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,则这10件产品的次品数可能为(　　)

A.8 B.6

C.4 D.2

12.[2023福建龙岩统考模拟预测]某产品有5件正品和3件次品混在了一起(产品外观上看不出有任何区别),现从这8件产品中随机抽取3件,则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为　　　　. 

13.一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色有2个,其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球颜色相同的概率是　　　　　;若变量X为取出的三个小球中红球的个数,则X的均值EX=　　　　　. 

14.[2023陕西西安西北工业大学附属中学校考模拟预测]据调查,目前对于已经近视的小学生,有两种配戴眼镜的选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜,A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生).

(1)若从样本中选一位学生,已知这位小学生戴眼镜,那么,他戴的是角膜塑形镜的概率是多大?

(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中,选出3个人,求其中男生人数X的分布列.

(3)若将样本的频率当作估计总体的概率,请问,从A市的小学生中,随机选出20位小学生,求佩戴角膜塑形镜的人数Y的数学期望和方差.

C级 学科素养创新练

15.某实验中学要从高二年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级6名选手,现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题.已知甲班级的6人中有4人可以正确回答这个问题,而乙班级6人中能正确回答这个问题的概率每人均为,甲、乙两班级每个人对问题的回答都相互独立.

(1)求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率;

(2)分别求甲、乙两个班级能正确回答这个问题的人数的期望EX,EY和方差DX,DY,并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.

参考答案

4.2　超几何分布

1.C　2.C

3.BD　选项A,取出白球个数X可能为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以P(X=n)=,即取出的白球个数X服从超几何分布,错误;选项B,同选项A,取出黑球个数Y可能为0,1,2,3,4,易得P(Y=n)=,即取出的黑球个数Y服从超几何S分布,正确;选项C,由选项A知取出2个白球的概率为,错误;选项D,总得分最大,即取出的都是黑球,由选项A知,概率为,正确.故选BD.

4

5　由超几何分布的概率公式可得,他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=

6.解 (1)令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”,从中任意选取3个有=120(种)可能,

其中恰有1个肉粽的可能选法有=63(种),

∴由古典概型的概率计算公式有P(A)=

(2)所选3个粽子有肉粽的可能选法有=120-35=85(种),

所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有)+=39(种),

故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为

(3)由题意知,ξ可能取的值为0,1,2,

则P(ξ=k)=,k=0,1,2,

∴P(ξ=0)=,

P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=,

故ξ的分布列为

则ξ的数学期望为Eξ=0+1+2

7.C　8.B　9.A　10.B　11.AD

12　设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X=1)=

13　现从5个小球中任意取出3个小球,共有=10(种)选法,其中恰有2个小球颜色相同的概率是P=X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以EX=0+1+2

14.解 (1)根据题中样本数据,设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A,则P(A)==0.24,“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B,则“这位小学生佩戴眼镜,且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB,则P(AB)==0.08,故所求的概率为P(B|A)=,所以从样本中选一位学生,已知这位小学生戴眼镜,则他戴的是角膜塑形镜的概率是

(2)依题意,佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生,故从中抽3人,男生人数X的所有可能取值分别为0,1,2,其中P(X=0)=;

P(X=1)=;

P(X=2)=

所以男生人数X的分布列为

(3)由已知可得Y~B(20,0.08),则EY=np=20×0.08=1.6,DY=np(1-p)=20×0.08×0.92=1.472,

所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.6,方差是1.472.

15.解 (1)甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率为3=

(2)甲班级能正确回答这个问题的人数为X,X的取值分别为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则EX=1+2+3=2,DX=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2

乙班级能正确回答这个问题的人数为Y,Y的取值分别为0,1,2,3,因为Y~B3,,

所以EY=3=2,DY=3,由EX=EY,DX<DY可得,由甲班级代表学校参加大赛更好.