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北师大版（2019） 高中数学 选择性必修第一册 第六章 概率 章末测评卷（含解析）
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这是一份北师大版（2019） 高中数学 选择性必修第一册 第六章 概率 章末测评卷（含解析），共10页。
《第六章 概率》章末测评卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是( )
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现点数之和
D.两次出现相同点的种数
2.已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下:
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则数学期望Eξ等于( )
A.1 B.0.6
C.2+3m D.2.4
3.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23,则该地在该季节内连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为( )
A.2027 B.89
C.827 D.1318
4.一个不透明的袋子中,放有大小相同的5个小球,其中3个黑球,2个白球,如果不放回地依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率是( )
A.12 B.310
C.35 D.25
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=( )
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
6.2020年1月,教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”),明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34,那么三人中恰有两人通过的概率为( )
A.2180 B.2780
C.3380 D.2740
7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是( )
A.121 B.521
C.1021 D.2021
8.设X~B(4,p),其中0
C.827 D.3281
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021福建福州期中)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中不正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
10.从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,设摸得白球的个数为X,已知E(X)=3,则下列说法正确的是( )
A.D(X)=85 B.D(X)=65
C.m=2 D.m=4
11.一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是( )
A.X的所有可能取值是3,4,5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为328
D.X的数学期望是174
12.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=25
B.P(B|A1)=511
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某同学罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,则P(X=0)= .
14.(2021山东潍坊高三期中)已知X~B3,35,且Y=-5X+2,则Y的方差为 .
15.已知随机变量X~B(10,0.9),请试举一个满足上述要求的试验: .(答案不唯一,合理即可)
16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为 ,第三个人摸到中奖彩票的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为910,求透镜落下三次未打破的概率.
19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815.
(1)求该小组中女生的人数;
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
20.(12分)(2021江苏苏州中学高二期中)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选;
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.
21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),……,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩;
(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和期望.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4 000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.
(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;
(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;
(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?
参考数据:362≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
参考答案
一、单项选择题
1.D 2.D
3.A 沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23,
则该地在该季节内连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为P=C3223213+C33233=2027.
故选A.
4.A 记事件A为“第一次取到黑球”,事件B为“第二次取到白球”,
则事件AB为“第一次取到黑球且第二次取到白球”,
依题意知P(A)=35,P(AB)=35×12=310,
所以第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率是P(B|A)=P(AB)P(A)=12.
5.A
6.C 甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34,
则三人中恰有两人通过的概率为
P=45×34×1-34+45×1-34×34+1-45×34×34=3380.
故选C.
7.B
8.D 根据题意得P(X=2)=C42p2(1-p)2=827,
即p2(1-p)2=132×232,
解得p=13或p=23(舍去),
故P(X=1)=C41p(1-p)3=3281.
故选D.
二、多项选择题
9.ABD 因为X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),由图可知,两图象分别关于x=μ1,x=μ2对称,显然μ1<μ2,
因为X的正态曲线“高瘦”,Y的正态曲线“矮胖”,故σ1<σ2.
故P(Y≥μ1)>P(Y≥μ2),P(X≤σ2)>P(X≤σ1),所以A,B错误;
对任意的正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),则P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.
故选ABD.
10.BC 从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,
每次取到白球的概率为33+m,
∵有放回地摸取5次,摸得白球个数为X,
∴X~B5,33+m,
∵E(X)=3,∴E(X)=5×33+m=3,解得m=2,
∴D(X)=5×35×25=65.
11.ACD 记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,任取3个球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A;
A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5;
P(X=3)=C61C22C83=656=328,P(X=4)=C62C21C83=3056=1528,P(X=5)=C63C20C83=514,
所以X最有可能的取值是4,E(X)=3×328+4×3056+5×2056=174.
故选ACD.
12.BD 由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310;
P(B|A1)=511,由此知,B正确;
P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;
而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,又因为P(A1B)=522,P(A1)P(B)=510×922=944,故P(A1B)≠P(A1)P(B).由此知,A,C不正确;
A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知D正确.
故答案为BD.
三、填空题
13.0.15 ∵罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,
∴P(X=0)=1-0.85=0.15.
14.18 ∵D(X)=3×35×25=1825,
∴D(Y)=(-5)2×1825=18.
15.用于植树造林的10棵树苗,已知每棵树苗的成活率为0.9,记这10棵树苗中成活的棵数为X
16.15 15 记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.
四、解答题
17.解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.
综上,X的分布列为
X
0
1
2
P
715
715
115
故EX=0×715+1×715+2×115=35.
18.解以Ai,i=1,2,3表示事件“当透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,
因为B=A1A2A3,
所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=1-12×1-710×1-910=3200.
19.解(1)设该小组中有n个女生,
根据题意,得Cn1C10-n1C102=815,
解得n=6或n=4(舍去),
∴该小组中有6个女生.
(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=13×13×14=136,
P(ξ=1)=C21×23×13×14+132×34=736,
P(ξ=2)=C21×23×13×34+232×14=1636=49,
P(ξ=3)=232×34=13,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
136
736
49
13
Eξ=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.
20.解(1)∵甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=C42452152=96625.
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,
P(X=2)=C22C82C104=28210=215,
P(X=3)=C21C83C104=112210=815,
P(X=4)=C84C104=70210=13,
∴X的分布列如表所示,
X
2
3
4
P
215
815
13
(3)∵乙平均答对的题目数EX=2×215+3×815+4×13=165,甲答对题目数Y~B4,45,甲平均答对的题目数EY=4×45=165.
∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
21.解 (1)由题中频率分布直方图,可知成绩在[125,135)内的频率为1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.
所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).
(2)由题意,得P(120-3×5
根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内的学生有50×(0.12+0.08)=10(人),
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(Y=0)=C63C103=16,
P(Y=1)=C62C41C103=12,
P(Y=2)=C61C42C103=310,
P(Y=3)=C43C103=130.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
16
12
310
130
期望EY=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
22.解 (1)样本中成绩不低于60分的学生有(0.012 5+0.007 5)×20×100=40(人),其中成绩不低于80分的有0.007 5×20×100=15(人),则至少有1人成绩不低于80分的概率为1-C252C402=813.
(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,
所以μ=53,σ2=362,所以σ≈19,
所以Z~N(53,362),则P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)≈12×(1-0.954 4)=0.022 8,
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.022 8×4 000≈91(人).
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,
所以EX=2Eξ=1.5n.
依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),
设甲答完n题的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N+,∴当n=7时,M(n)取最大值104.9,即复赛成绩的最大值为104.9.
所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7.
《第六章 概率》章末测评卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是( )
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现点数之和
D.两次出现相同点的种数
2.已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下:
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则数学期望Eξ等于( )
A.1 B.0.6
C.2+3m D.2.4
3.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23,则该地在该季节内连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为( )
A.2027 B.89
C.827 D.1318
4.一个不透明的袋子中,放有大小相同的5个小球,其中3个黑球,2个白球,如果不放回地依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率是( )
A.12 B.310
C.35 D.25
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=( )
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
6.2020年1月,教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”),明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34,那么三人中恰有两人通过的概率为( )
A.2180 B.2780
C.3380 D.2740
7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是( )
A.121 B.521
C.1021 D.2021
8.设X~B(4,p),其中0
C.827 D.3281
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021福建福州期中)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中不正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
10.从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,设摸得白球的个数为X,已知E(X)=3,则下列说法正确的是( )
A.D(X)=85 B.D(X)=65
C.m=2 D.m=4
11.一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是( )
A.X的所有可能取值是3,4,5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为328
D.X的数学期望是174
12.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=25
B.P(B|A1)=511
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某同学罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,则P(X=0)= .
14.(2021山东潍坊高三期中)已知X~B3,35,且Y=-5X+2,则Y的方差为 .
15.已知随机变量X~B(10,0.9),请试举一个满足上述要求的试验: .(答案不唯一,合理即可)
16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为 ,第三个人摸到中奖彩票的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为910,求透镜落下三次未打破的概率.
19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815.
(1)求该小组中女生的人数;
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
20.(12分)(2021江苏苏州中学高二期中)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选;
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.
21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),……,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩;
(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和期望.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4 000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.
(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;
(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;
(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?
参考数据:362≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
参考答案
一、单项选择题
1.D 2.D
3.A 沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23,
则该地在该季节内连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为P=C3223213+C33233=2027.
故选A.
4.A 记事件A为“第一次取到黑球”,事件B为“第二次取到白球”,
则事件AB为“第一次取到黑球且第二次取到白球”,
依题意知P(A)=35,P(AB)=35×12=310,
所以第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率是P(B|A)=P(AB)P(A)=12.
5.A
6.C 甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34,
则三人中恰有两人通过的概率为
P=45×34×1-34+45×1-34×34+1-45×34×34=3380.
故选C.
7.B
8.D 根据题意得P(X=2)=C42p2(1-p)2=827,
即p2(1-p)2=132×232,
解得p=13或p=23(舍去),
故P(X=1)=C41p(1-p)3=3281.
故选D.
二、多项选择题
9.ABD 因为X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),由图可知,两图象分别关于x=μ1,x=μ2对称,显然μ1<μ2,
因为X的正态曲线“高瘦”,Y的正态曲线“矮胖”,故σ1<σ2.
故P(Y≥μ1)>P(Y≥μ2),P(X≤σ2)>P(X≤σ1),所以A,B错误;
对任意的正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),则P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.
故选ABD.
10.BC 从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,
每次取到白球的概率为33+m,
∵有放回地摸取5次,摸得白球个数为X,
∴X~B5,33+m,
∵E(X)=3,∴E(X)=5×33+m=3,解得m=2,
∴D(X)=5×35×25=65.
11.ACD 记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,任取3个球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A;
A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5;
P(X=3)=C61C22C83=656=328,P(X=4)=C62C21C83=3056=1528,P(X=5)=C63C20C83=514,
所以X最有可能的取值是4,E(X)=3×328+4×3056+5×2056=174.
故选ACD.
12.BD 由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310;
P(B|A1)=511,由此知,B正确;
P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;
而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,又因为P(A1B)=522,P(A1)P(B)=510×922=944,故P(A1B)≠P(A1)P(B).由此知,A,C不正确;
A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知D正确.
故答案为BD.
三、填空题
13.0.15 ∵罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,
∴P(X=0)=1-0.85=0.15.
14.18 ∵D(X)=3×35×25=1825,
∴D(Y)=(-5)2×1825=18.
15.用于植树造林的10棵树苗,已知每棵树苗的成活率为0.9,记这10棵树苗中成活的棵数为X
16.15 15 记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.
四、解答题
17.解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.
综上,X的分布列为
X
0
1
2
P
715
715
115
故EX=0×715+1×715+2×115=35.
18.解以Ai,i=1,2,3表示事件“当透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,
因为B=A1A2A3,
所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=1-12×1-710×1-910=3200.
19.解(1)设该小组中有n个女生,
根据题意,得Cn1C10-n1C102=815,
解得n=6或n=4(舍去),
∴该小组中有6个女生.
(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=13×13×14=136,
P(ξ=1)=C21×23×13×14+132×34=736,
P(ξ=2)=C21×23×13×34+232×14=1636=49,
P(ξ=3)=232×34=13,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
136
736
49
13
Eξ=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.
20.解(1)∵甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=C42452152=96625.
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,
P(X=2)=C22C82C104=28210=215,
P(X=3)=C21C83C104=112210=815,
P(X=4)=C84C104=70210=13,
∴X的分布列如表所示,
X
2
3
4
P
215
815
13
(3)∵乙平均答对的题目数EX=2×215+3×815+4×13=165,甲答对题目数Y~B4,45,甲平均答对的题目数EY=4×45=165.
∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
21.解 (1)由题中频率分布直方图,可知成绩在[125,135)内的频率为1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.
所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).
(2)由题意,得P(120-3×5
根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内的学生有50×(0.12+0.08)=10(人),
所以Y的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(Y=0)=C63C103=16,
P(Y=1)=C62C41C103=12,
P(Y=2)=C61C42C103=310,
P(Y=3)=C43C103=130.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
16
12
310
130
期望EY=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
22.解 (1)样本中成绩不低于60分的学生有(0.012 5+0.007 5)×20×100=40(人),其中成绩不低于80分的有0.007 5×20×100=15(人),则至少有1人成绩不低于80分的概率为1-C252C402=813.
(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,
所以μ=53,σ2=362,所以σ≈19,
所以Z~N(53,362),则P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)≈12×(1-0.954 4)=0.022 8,
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.022 8×4 000≈91(人).
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,
所以EX=2Eξ=1.5n.
依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),
设甲答完n题的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N+,∴当n=7时,M(n)取最大值104.9,即复赛成绩的最大值为104.9.
所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7.
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