高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列教学演示ppt课件

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1.掌握数列的前n项和Sn和an的关系,并能运用这个关系解决相关问题;2.理解等差数列前n项和公式的推导方法;3.掌握等差数列的前n项和公式,并能够运用公式解决相应的问题.
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一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用　　　表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 
名师点睛数列的前n项和Sn与通项公式an的关系为an=一般地,由Sn-Sn-1(n≥2)求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段形式表示,即an=
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)数列{an}的前n项和为Sn=n2,则an=2n-1.(　　)(2)数列{an}的前5项和为S5=a1+a2+a3+a4+a5.(　　)(3)数列{an}的前n项和为Sn,且S6=S5,则a5=0.(　　)2.S1与a1是什么关系?S2与a1呢?
提示由于S1表示数列的前1项的和,因此S1与a1相等,而S2表示数列的前2项的和,因此S2=a1+a2.
等差数列的前n项和公式
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
形式,这是一个关于n的二次函数.(　　)(3)已知等差数列的首项、公差,不能求S20.(　　)
2.教材在推导等差数列的前n项和公式时,利用了等差数列的什么性质?
3.若已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d=0,则前n项和Sn怎么计算?
提示a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
提示可以直接利用Sn=na1求解.
探究点一 等差数列的前n项和公式及其应用
【例1】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=　　　　. 
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式,列方程(组)进行计算求解.
解析 设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=　　　　. 
解析 设等差数列{an}的公差为d,
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,ak=-512,Sk=-1 022,则公差d=　　　　. 
规律方法　与等差数列前n项和有关的基本量的计算方法:等差数列的前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意运用整体代换的思想.
变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=(　　)A.15B.20C.25D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)A.12B.13C.14D.15
又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.∴a7=a4+3d=7+3×2=13.
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=　　　 　. 
探究点二 利用数列的前n项和公式求通项公式
【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}的前n项和Sn= ,求数列{an}的通项公式.分析利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.
解 (1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N+).
规律方法　已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤:(1)当n=1时,a1=S1.(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1,得an=f(n).(3)如果a1也适合an=f(n)(n≥2),那么数列{an}的通项公式为an=f(n);如果a1不适合an=f(n)(n≥2),那么数列{an}的通项公式要分段表示为
变式训练2设Sn为数列{an}的前n项和,根据下列条件求数列的通项公式.(1)Sn=2n2-30n+1;(2)Sn=3n+1.
解 (1)因为Sn=2n2-30n+1,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1+1=-27,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
(2)因为Sn=3n+1,所以当n=1时,a1=S1=3+1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=3n-3n-1=2·3n-1.
探究点三 等差数列的前n项和在实际问题中的应用
【例3】 某研究所计划建设n个实验室,从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列,已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元,现在总共有建设费用438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(　　)A.10D.13
解析 设从第1到第n实验室的建设费用依次构成的等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn.
故该研究所最多可以建设12个实验室.故选C.
规律方法　应用等差数列解决实际问题的一般思路
变式训练3有一道“八子分绵”的数学题:“九百九十六斤绵,分给八子做盘缠,次第每人多十七,要将第七数来言.”题意是:把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第7个儿子分到的绵是(　　)A.167斤B.184斤C.191斤D.201斤
解析 记8个儿子按年龄从大到小依次分绵a1,a2,a3,…,a8斤,因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,所以数列{an}为等差数列,且公差为17,所以an=a1+17(n-1).因为绵的总数为996斤,所以8a1+ ×17=996,解得a1=65.所以第7个儿子分到的绵是a7=65+17×6=167斤.故选A.
1.知识清单:(1)数列前n项和的概念;
2.方法归纳:倒序相加法推导求和公式,方程(组)求解等差数列的基本量,数学建模求解数列应用题.3.注意事项:注意等差数列前n项和两个公式的选择应用,数学建模求解数列应用题应明确是求和还是求通项公式.
1.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则其公差d=(　　)A.1B.C.2D.3
解析 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,
2.已知等差数列{an}满足a1=1,am=99,d=2,则其前m项和Sm等于(　　)A.2 300B.2 400C.2 600D.2 500
解析 由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50,所以
3.《九章算法比类大全》是中国古代数学名著,其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目:一座塔共有8层,从第2层起,每层悬挂的灯数都比前一层少2盏,已知塔上总共悬挂64盏灯,则第1层悬挂的灯的盏数为(　　)A.5B.7C.11D.15
解析 从第一层开始各层悬挂的灯的盏数构成一个等差数列{an},其公差为-2,前8项和S8=64,则由等差数列前n项和公式得8a1+ ×(-2)=64,解得a1=15.故选D.
4.已知数列{an}的通项公式为an=2-n,则{an}的前n项和Sn=　　　　　. 
解析 由已知得{an}为等差数列.∵an=2-n,∴a1=2-1=1,
5.在一个等差数列{an}中,已知a2+a18=20,则S19=　　　　　.