新教材2023_2024学年高中数学第4章概率与统计综合训练新人教B版选择性必修第二册

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第四章综合训练
一、单项选择题
1.若由下表可得出结论:有95%的把握认为X与Y有关,则χ2的值必须(　　)
α=P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.大于等于10.828 B.大于等于3.841
C.小于6.635 D.大于等于2.706
2.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮风的概率为,在下雨天里,刮风的概率为,则既刮风又下雨的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.某校有500人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(不低于120分)的人数占总人数的,则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为(　　)
A.75 B.100 C.150 D.200
4.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,无平局情况,采用5局3胜制,那么乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.某大学有A,B两家餐厅,某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率是0.4;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率是0.8.则该同学第2天去A餐厅用餐的概率是(　　)
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
6.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下,若随机变量η=3ξ+1,则η的均值为(　　)
ξ
0
1
2
P
0.4
2k
k
A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8
7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
8.1654年,法国贵族德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡,在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛,约定胜者可以喝杯酒,当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人采用七局四胜制的方法比赛,两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负,那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费,梅雷由于接到命令需要觐见国王,没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识猜测最后付酒资的最有可能是(　　)
A.肖恩 B.尤瑟纳尔
C.酒吧伙计 D.酒吧老板
二、多项选择题
9.下列随机变量中,服从超几何分布的有(　　)
A.抛掷三枚骰子,向上面的点数是6的骰子的个数X
B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子的个数X
C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数X
D.某班级有男生25人,女生20人,选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生的人数X
10.为研究需要,统计了两个变量x,y的数据.情况如下表:
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
其中数据x1,x2,x3,…,xn和数据y1,y2,y3,…,yn的平均数分别为,并且计算相关系数r=-0.8,回归直线方程为x+,下列选项正确的是(　　)
A.点()必在回归直线上,即
B.变量x,y是负相关
C.当x=x1,则必有=y1
D.<0
11.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的是(　　)
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
12.甲罐中有5个红球、5个白球,乙罐中有3个红球、7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”,A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”,B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是(　　)
A.A1,A2为对立事件
B.P(B|A1)=
C.P(B)=
D.P(B|A1)+P(B|A2)=1
三、填空题
13.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
若D(X)=(0 14.若某商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表,利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为x+1.5.据此预测,当投入10万元时,销售额的估计值为　　　　万元. 
15.为了考察某种流感疫苗的效果,某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验,得到如下列联表:
注射情况
感染情况
总计
感染
未感染
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
参照附表,在犯错误的概率不超过　　　　　的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系. 
参考公式:χ2=
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
16.设随机变量ξ满足P(ξ=k)=,k=1,2,3,c为常数,则P(0.5<ξ<2.5)=　　　　　. 
四、解答题
17.为了减少自身消费的碳排放,“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚.为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况,某地研究机构将“90后与00后”作为A组,将“70后与80后”作为B组,并从A,B两组中各随机选取了100人进行问卷调查,整理数据后获得如下列联表:
单位:人
年龄段
认知情况
总计
知晓
不知晓
A组(90后与00后)
75
25
100
B组(70后与80后)
45
55
100
总计
120
80
200
(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用分层随机抽样的方法随机抽取16人,问应在A组,B组各抽取多少人?
(2)是否有99.5%的把握认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关?
参考公式:χ2=
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828










18.近年来,共享单车在我国各城市迅猛发展,为人们的出行提供了便利,但也给城市的交通管理带来了一些困难,为掌握共享单车在C省的发展情况,某调查机构从该省抽取了5个城市,并统计了共享单车的A指标x和B指标y,数据如下表所示:
指标
城市1
城市2
城市3
城市4
城市5
A指标x
2
4
5
6
8
B指标y
3
4
4
4
5
(1)试求y与x间的相关系数r,并说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|≥0.75,则认为y与x具有较强的线性相关关系,否则认为没有较强的线性相关关系).
(2)建立y关于x的回归直线方程,并预测当A指标为7时,B指标的估计值.
(3)若某城市的共享单车A指标x在区间[-3s,+3s]的右侧,则认为该城市共享单车数量过多,对城市的交通管理有较大的影响,交通管理部门将进行治理,直至A指标x在区间[-3s,+3s]内,现已知C省某城市共享单车的A指标为13,则该城市的交通管理部门是否需要进行治理?试说明理由.
参考数据:s==2,≈0.55,≈0.95.




















19.[2023广东佛山高二期末]一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)若第一次击鼓出现音乐,求该盘游戏获得100分的概率.
(2)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.
(3)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率为多少?








20.某记者随机采访了100名群众,调查群众对某事件的看法,根据统计,抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.

(1)求这100名受访群众年龄的平均数和方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替).
(2)由频率分布直方图可以认为,受访群众的年龄X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为,σ2近似为s2.
①求P(33.2≤X≤46.6);
②从年龄在[45,55),[65,75)的受访群众中,按分层抽样的方法,抽出7人参加访谈节目录制,再从这7人中随机抽出3人作为代表发言,设这3位发言人的年龄在[45,55)内的人数为Y,求变量Y的分布列和均值.
参考数据:≈13.4,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954.


















21.某运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐,奖牌榜的前6名如下:
国家
金牌
银牌
铜牌
奖牌总数
A
133
64
42
239
B
51
53
57
161
C
21
31
36
88
D
13
20
24
57
E
11
15
34
60
F
10
15
20
45
某同学利用分层抽样的方式从F国获奖选手中抽取了9名获奖代表.
(1)请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人?
(2)从这9人中随机抽取3人,记这3人中银牌选手的人数为X,求X的分布列和均值;
(3)从这9人中随机抽取3人,求已知这3人中有获金牌运动员的前提下,这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.





















22.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与均值及方差;
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.









参考答案
第四章综合训练
1.B　查表可知,若有95%的把握认为X与Y有关,则χ2≥3.841.故选B.
2.C　记“该地区下雨”为事件A,“刮风”为事件B,
则P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选C.
3.C　由题意,设数学成绩为X,则P(X≥120)=,而P(X≥105)=,∴P(105 ∴此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为×500=150.故选C.
4.B　由乙以3∶1战胜甲,知第四局乙获胜,则乙以3∶1战胜甲的概率P=×1-3=.故选B.
5.B　设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,
由题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4,P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6,
因此,该同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.6.故选B.
6.B　由题意,根据离散型随机变量的分布列的性质,可得0.4+2k+k=1,解得k=0.2,所以均值为E(ξ)=0×0.4+1×0.4+2×0.2=0.8,
又由随机变量η=3ξ+1,所以E(η)=3E(ξ)+1=3×0.8+1=3.4,故选B.
7.B　由题意,X的可能取值为0,1,2,
由题中数据可得P(X=0)=,
P(X=1)=,P(X=2)=,
所以E(X)=×0+1×+2×=1.故选B.
8.B　由题意,肖恩每局获胜的概率为,尤瑟纳尔每局获胜的概率为,设决出胜负的场数为X(4≤X≤7),于是得P(X=4)=4+4=,P(X=5)=4×4×,P(X=6)=4×2+4×2=,P(X=7)=3×3=,因为,所以P(X=4) 9.CD　A,B服从二项分布,故A,B不符合题意;C,D符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取的n件样本中某类样本被抽取的个数,服从超几何分布.故选CD.
10.ABD　回归直线经过点(),故A正确;根据回归方程的性质,当x=x1时,不一定有=y1,故C错误;
由相关系数r=-0.8<0知x,y负相关,所以<0,故BD正确.
故选ABD.
11.ACD　因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,
故A正确;
又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;
因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
故选ACD.
12.AB　因为甲罐中只有红球和白球,所以A正确;当A1发生时,乙罐中有4个红球,7个白球,此时B发生的概率为,故B正确;当A2发生时,乙罐中有3个红球,8个白球,此时B发生的概率为,故D不正确;P(B)=,故C不正确.故选AB.
13.　由题意D(X)=p(1-p)=,解得p=.
14.106.5　由题得(2+4+5+6+8)=5,(20+40+60+70+80)=54,所以54=5+1.5,所以=10.5,所以=10.5x+1.5.当x=10时,=10.5×10+1.5=106.5.
15.5%　由题得χ2=>3.841,
所以在犯错误的概率不超过5%的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
16.　随机变量ξ满足P(ξ=k)=,k=1,2,3,
∴=1,
即=1,解得c=,
∴P(0.5<ξ<2.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=.
17.解 (1)由题意知,抽样比为,故在A组中抽取的人数为75×=10.在B组中抽取的人数为45×=6.
(2)由题意,得χ2==18.75>7.879,
故有99.5%的把握认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关.
18.解(1)由题得=5,
=4,
所以(xi-)(yi-)=6,(xi-)2=20,(yi-)2=2,则r=≈0.95.
因为r>0.75,所以y与x具有较强的线性相关关系.
(2)由(1)得=0.3,=4-0.3×5=2.5,
所以回归直线方程为=0.3x+2.5.
当x=7时,=0.3×7+2.5=4.6,
即当A指标为7时,B指标的估计值为4.6.
(3)由题得s2=4,s=2,所以[-3s,+3s]=[-1,11],
因为13>11,所以该城市的交通管理部门需要进行治理.
19.解 (1)若第一次击鼓出现音乐,则该盘游戏获得100分的概率为P=.
(2)X的可能取值为10,20,100,-200.根据题意,有
P(X=10)=×1×1-2=,
P(X=20)=×2×1-1=,
P(X=100)=×3×1-0=,
P(X=-200)=×0×1-3=.
所以X的分布列为
X
10
20
100
-200
P




(3)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-3=1-.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
20.解(1)=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,
s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+102×0.2+202×0.15=180.
(2)①由(1)知X~N(60,180),
所以P(33.2≤X≤46.6)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)≈=0.1355.
②分层抽样抽取的7人中年龄在[45,55),[65,75)内的分别有3人,4人.
所以Y的可能取值为0,1,2,3.
因为P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=,
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P




故E(Y)=0×+1×+2×+3×.
21.解(1)由题意可知,F国获奖运动员中,金牌、银牌、铜牌的人数比为2∶3∶4,
所以这9名获奖代表中获金牌人数为2、获银牌人数为3、获铜牌人数为4.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,X~H(9,3,3),
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




E(X)=0×+1×+2×+3×=1.
(3)记事件A为“3人中有获金牌运动员”,事件B为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”,
P(A)=1-,
P(AB)=,
P(B|A)=.
22.解(1)由题意,当n∈[0,16)时,利润y=120n-960,
当n∈[16,+∞)时,利润y=(120-60)×16=960.
综上,当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y=
(2)①由(1)可得,
当n=14时,利润X=120×14-960=720;
当n=15时,利润X=120×15-960=840;
当n≥16时,利润X=960.
所以X的分布列为
X
720
840
960
P
0.1
0.2
0.7
所以E(X)=720×0.1+840×0.2+960×0.7=912.
D(X)=(720-912)2×0.1+(840-912)2×0.2+(960-912)2×0.7=6336.
②由题意,加工17个蛋糕时,设Y表示当天利润(单位:元),
当n=14时,利润Y=120×14-60×17=660;
当n=15时,利润Y=120×15-60×17=780;
当n=16时,利润Y=120×16-60×17=900;
当n≥17时,利润Y=60×17=1020.
Y的分布列如下
Y
660
780
900
1020
P
0.1
0.2
0.16
0.54
则E(Y)=660×0.1+780×0.2+900×0.16+1020×0.54=916.8>912.
从均值来看,每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润,应加工17个.