高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.5 正态分布测试题

第四章4.2.5　正态分布

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]已知随机变量X服从正态分布N(1,4),P(X>2)=0.3,P(X<0)=(　　)

A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8

2.[探究点二·2023陕西渭南高二期末]已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ<4)=0.78,则P(2<ξ<3)=(　　)

A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32

3.[探究点三·2023山西太原五中高三期末]某中学高三(1)班有50名学生,在一次高三模拟考试中,经统计得:数学成绩X~N(110,100),则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(　　)(参考数据:已知X~N(μ,σ2)时,有P(|X-μ|≤σ)≈0.683,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954)

A.16 B.10 C.8 D.2

4.[探究点三·2023黑龙江哈尔滨高二期末]首届国家最高科学技术奖得主,杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量,某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时,发现株高X(单位:cm)服从正态分布N(100,102),若测量10 000株水稻,求株高在[80,90]的水稻数量.(附X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)

B级 关键能力提升练

5.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,则P(X<6)= (　　)

A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.7

6.(多选题)“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其概率密度函数φ(x)=,x∈(-∞,+∞),则(　　)

A.该地杂交水稻的平均株高为100 cm

B.该地杂交水稻株高的方差为10

C.该地杂交水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多

D.随机测量该地的一株杂交水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)的概率一样大

7.(多选题)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X~N(9,4),则(　　)

A.该校学生每周平均阅读时间为9小时

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4

C.该校学生每周阅读时间少于3小时的人数约占0.3%

D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为215

(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)

8.[2023黑龙江肇东高二期末]已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),且,则P(3<ξ<5)=　　　　. 

9.研究某市某种作物,其单株生长果实个数ξ服从正态分布N(90,σ2),且P(ξ<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为　　　　　. 

C级 学科素养创新练

10.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性.

附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,0.99716≈0.953 1.

11.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);

(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤.利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);

②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.

参考数据:,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.

参考答案

4.2.5　正态分布

1.B　∵X~N(1,4),∴P(X<0)=P(X>2)=0.3.故选B.

2.C　由随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),可知正态曲线关于直线x=3对称.由P(ξ<4)=0.78,可得P(ξ≥4)=P(ξ≤2)=1-0.78=0.22.则P(2<ξ<4)=1-2×0.22=0.56,故P(2<ξ<3)=P(2<ξ<4)=×0.56=0.28.故选C.

3.C　因为数学成绩X~N(110,100),所以μ=110,σ=10.因此由P(|X-110|≤10)≈0.683⇒P(100≤X≤120)≈0.683⇒P(110≤X≤120)≈×0.683=0.3415,所以有P(X>120)=-P(110≤X≤120)=-0.3415=0.1585,估计该班数学得分大于120分的学生人数为0.1585×50≈8.故选C.

4.解 由X~N(100,102)知,μ=100,σ=10,所以P(80≤X≤90)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)≈(0.954-0.683)=0.1355.

所以若测量10000株水稻,株高在[80,90]的约有1355株.

5.D　因为X~N(4,σ2),正态曲线的对称轴为直线x=4,因为P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.故选D.

6.AC　因为φ(x)=,所以μ=100,σ=10,即均值为100,标准差为10,方差为100,故A正确,B错误;根据正态曲线的特征可知函数φ(x)图象关于直线x=100对称,所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多,故C正确;随机测量该地的一株杂交水稻,其株高在(80,90)和在(110,120)的概率一样大,故D错误.故选AC.

7.AD　因为μ=9,σ=2,所以均值是9,标准差为2,A正确,B不正确;因为P(7≤X≤11)≈0.683,P(5≤X≤13)≈0.954,P(3≤X≤15)≈0.997,结合正态曲线的对称性可得,该校学生每周阅读时间少于3小时的人数约占=0.15%,C不正确;每周阅读时间在3~5小时的人数占≈0.0215,0.0215×10000=215,所以D正确.故选AD.

8.0.4　因为ξ~N(3,σ2),所以该正态曲线关于直线x=3对称,则P(ξ<1)=1-P(ξ<5),又,得P(ξ<1)=0.1,P(ξ<5)=0.9,所以P(3<ξ<5)=[P(ξ<5)-P(ξ<1)]=0.4.

9.2.4　因为ξ~N(90,σ2),所以P(90≤ξ≤110)=-P(ξ>110),而P(ξ>110)=P(ξ<70)=0.1.

所以P(90≤ξ≤110)=0.4,

而X~B(10,0.4),

所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.

10.解(1)由题可知零件尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997,则落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为1-0.997=0.003,因为P(X=0)=×(1-0.997)0×0.99716≈0.9531,

所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0469,

又因为X~B(16,0.003),

所以E(X)=16×0.003=0.048.

(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.003,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.0469,发生的概率很小.

因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

11.解(1)=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,

s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.

(2)①由(1)知μ=9,σ2=1.78,

∴X~N(9,1.78),σ=.

∴P(X≤10)=PY≤=P(Y≤0.75)=0.7734.

②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.2266,

可得Z~B(20,0.2266),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-0.773420-×0.2266×0.773419≈1-(0.7734+20×0.2266)×0.0076≈0.9597.

∴E(Z)=20×0.2266=4.532.