初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理测试题

第2章　特殊三角形

2.7　探索勾股定理

第2课时　勾股定理的逆定理

基础过关全练

知识点　勾股定理的逆定理

1.下列长度的三条线段首尾相接,能构成直角三角形的是(　　)

A.20,21,29　　　　B.5,7,8

C.,,2　　　　D.1.5,2,3

2.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,若小方格的边长均为1,则△ABC的形状是(　　)

A.锐角三角形　　　　B.直角三角形

C.钝角三角形　　　　D.等腰直角三角形

3.(2023浙江宁波鄞州七校联考)下列条件:①∠C=∠A-∠B;②∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3;③a=c,b=c;④a∶b∶c=1∶2∶,其中能确定△ABC是直角三角形的有　　　个. 

4.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为　　　　. 

5.【新独家原创】小明在学习了尺规作图后,作出了如图所示的图形,若AD=2 cm,CD=4 cm,BC=5 cm.

(1)AB=　　　cm; 

(2)△ABC的形状为　　　三角形. 

6.【教材变式·P77例4】已知△ABC的三条边的长分别为a,b,c,其中a=m-n,b=,c=m+n,且m>n>0.△ABC是直角三角形吗?请说明理由.

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7.【易错题】已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则△ABC是(　　)

A.直角三角形　　　　

B.等腰三角形

C.等腰三角形或直角三角形　　　　

D.等腰直角三角形

8.(2023浙江杭州第十四中学附属学校期中,9,★★☆)在△ABC中,已知AC∶BC∶AB=5∶12∶13,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.若△ABC的面积为S,则△ACD的面积为(　　)

A.S　　　　B.S　　　　C.S　　　　D.S

9.【数学文化】如图所示的是用三张正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五张正方形纸片,面积分别是1,4,5,9,10,选取其中三张(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三张纸片的面积分别是(　　)

A.1,4,5　　　　B.4,5,9　　　　C.5,9,10　　　　D.1,9,10

10.(2021广西玉林中考改编,16,★★☆)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙两轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙两轮船每小时分别航行15海里和20海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距25海里,如果知道甲轮船沿北偏西40°方向航行,则乙轮船沿　　　　 　方向航行.

11.【国防历史】(2023浙江宁波鄞州期中,21,★★☆)2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日.为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神,社区开展了系列纪念活动.如图,有一块四边形空地,社区计划将其布置成展区,陈列有关辛亥革命的历史图片.现测得AB=AD=26 m,BC=16 m,CD=12 m,BD=20 m.

(1)试说明∠BCD=90°;

(2)求四边形展区(阴影部分)的面积.

12.(2023浙江金华东阳期中,20,★★☆)已知:在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=BC,CD2+AD2=2AB2.

(1)求证:AD⊥CD;

(2)若AB=,AD=8.

①求四边形ABCD的面积;

②点B到AD的距离是　　　　. 

素养探究全练

13.【推理能力】(2022北京中考)在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连结BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连结AF,EF,若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;

(2)连结AE交BD的延长线于点H,连结CH,依题意补全图2,若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.

                                图1  　       图2

答案全解全析

基础过关全练

1.C　∵202+212≠292,∴不能构成直角三角形,故A不符合题意;∵52+72≠82,∴不能构成直角三角形,故B不符合题意;∵()2,∴能构成直角三角形,故C符合题意;∵1.52+22≠32,∴不能构成直角三角形,故D不符合题意.故选C.

2.B　由题图可知,AB2=22+42=20,AC2=12+22=5,BC2= 42+32=25,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形.故选B.

3.答案　4

解析　∵∠C=∠A-∠B,∴∠A=∠B+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A+∠A=180°,∴∠A=90°,∴△ABC 为直角三角形,故①符合题意;设∠A、∠B、∠C的度数分别为5x、2x、3x,由三角形内角和定理得,5x+2x+3x=180°,解得x=18°,则∠A=5x=90°,∴△ABC 为直角三角形,故②符合题意;∵a=c,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故③符合题意;∵a∶b∶c=1∶2∶,

∴设a=x,则b=2x,c=x,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,故④符合题意.故能确定△ABC是直角三角形的条件有4个.

4.答案　45°

解析　如图,连结AC,

根据勾股定理得AC2=BC2=12+22=5,AB2=12+32=10,∴AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.

5.答案　(1)　(2)直角

解析　(1)根据作图可得,AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,

∵CD=4 cm,BC=5 cm,∴BD=BC-CD=1 cm,

在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,∴AB= cm.

(2)在Rt△ACD 中,AC2=AD2+CD2,∴AC= cm,

∵AB2+AC2=5+20=25,BC2=52=25,∴AB2+AC2=BC2,

∴△ABC 为直角三角形.

6.解析　△ABC是直角三角形.理由:∵△ABC的三条边的长分别为a,b,c,a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2,c2=(m+n)2,m>n>0,∴a2+b2=c2,

∴△ABC是直角三角形.

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7.C　∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,

∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0,∴a=ba2+b2=c2,

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

8.B　如图,设AC=5k,则BC=12k,AB=13k,∴AC2+BC2= AB2,∴△ABC为直角三角形,∠C=90°,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED=90°,∵AD=AD,

∴△ACD≌△AED,∴S△ACD=S△AED,AE=AC=5k,

∴BE=13k-5k=8k,∵△AED的边AE上的高和△BED的边BE上的高相同,∴S△BED∶S△AED=8∶5,∵△ABC的面积为S,∴S△ACD=S.故选B.

9.B　设三个正方形的边长分别为a,b,c,当a2+b2=c2时,围成的三角形是直角三角形,选项A,1+4=5,∴两直角边长分别为1和2,则面积为×1×2=1;选项B,4+5=9,∴两直角边长分别为2和,则面积为×2×;选项C,5+9≠10,∴不符合题意;选项D,1+9=10,

∴两直角边长分别为1和3,则面积为×1×3=.∵5>>1,∴>1,∴选取的三张纸片的面积分别是4,5,9.故选B.

10.答案　北偏东50°

解析　由题意可知,AP=15海里,BP=20海里,AB=25海里,∵152+202=252,∴△APB是直角三角形,∠APB=90°,由题意知∠APN=40°,∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°,即乙轮船沿北偏东50°方向航行.

11.解析　(1)证明:△BCD中,BC=16 m,CD=12 m,BD=20 m,

∵BC2+CD2=162+122=400,BD2=202=400,

∴BC2+CD2=BD2,∴△BCD是直角三角形,∠BCD=90°.

(2)过点A作AE⊥BD于点E,

∴∠AEB=90°,

∵AB=AD,∴BE=DE=BD=10 m,

在Rt△ABE中,AB=26 m,AE2=AB2-BE2,∴AE=24 m,

∴S△ABD=BD·AE=×20×24=240(m2),

∵S△BCD=BC·CD=×16×12=96(m2),

∴S阴影=S△ABD-S△BCD=240-96=144(m2).

12.解析　(1)证明:∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,

∴AC2=AB2+BC2,∵AB=BC,∴AC2=2AB2,

∵CD2+AD2=2AB2,∴CD2+AD2=AC2,

∴△ACD是直角三角形,∠ADC=90°,∴AD⊥CD.

(2)①在Rt△ABC中,BC=AB=,∴AC2=100,

在Rt△ACD中,AD=8,CD2=AC2-AD2,∴CD=6,

∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积=AB·BC+AD·CD=×××8×6=25+24=49.

②7.详解:过点B作BE⊥AD,垂足为E,BF⊥DC,交DC的延长线于点F,连结BD,

∴∠BEA=∠BED=∠BFC=90°,

∵∠ADC=90°,

∴∠FBE=360°-∠ADC-∠BED-∠BFC=90°,

∵∠ABC=90°,

∴∠ABC-∠CBE=∠FBE-∠CBE,∴∠ABE=∠CBF,

∵AB=BC,∴△ABE≌△CBF(AAS),

∴BE=BF,∵四边形ABCD的面积为49,

∴△ABD的面积+△CBD的面积=49,

∴AD·BE+CD·BF=49,∴×8BE+×6BF=49,∴7BE=49,∴BE=7,

∴点B到AD的距离是7.

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13.解析　(1)证明:在△FCE和△BCD中,

∴△FCE≌△BCD(SAS),

∴∠CFE=∠CBD,∴EF∥BD,

∵AF⊥EF,∴BD⊥AF.

(2)补全后的图形如图所示,

CD=CH.证明如下:

延长BC到点M,使CM=CB,连结EM,AM,

∵∠ACB=90°,CM=CB,

∴AC垂直平分BM,∴AB=AM,

在△MEC和△BDC中,

∴△MEC≌△BDC(SAS),∴ME=BD,∠CME=∠CBD,

∴BH∥EM,∴∠AEM=∠BHE,

∵AB2=AE2+BD2,∴AM2=AE2+ME2,∴∠AEM=90°,

∴∠BHE=∠AEM=90°,即∠DHE=90°,

∵CE=CD=DE,∴CH=DE,∴CD=CH.