浙教版第2章 特殊三角形2.1 图形的轴对称同步训练题

第2章　特殊三角形

单元大概念素养目标

2.1　图形的轴对称

基础过关全练

知识点1　轴对称图形的概念及性质

1.下列生活中的图形,不是轴对称图形的是(　　)

A       B          C            D

2.【跨学科·美术】(2022福建中考)美术老师布置作业,让同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的是(　　)

A          B          C            D

知识点2　轴对称的概念及性质

3.如图,△ABC和△ADE关于直线l对称,给出下列结论:

①△ABC≌△ADE;②连结BD,则l垂直平分DB;③∠C=∠E;④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上.其中错误的有(　　)

A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个

4.【最短距离问题】(2023浙江绍兴柯桥月考)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则AP+BP的最小值是(　　)

A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4

5.【教材变式·P52T6】如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C的对称轴为直线b,点A和点A'是对称点,AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D,A'E⊥a于点E.若OB=OD=3,则图中阴影部分的面积为　　　.

能力提升全练

6.(2022北京中考,7,★★☆)下图是轴对称图形,该图形的对称轴的条数为(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5

7.【主题教育·中华优秀传统文化】剪纸是中国传统的民间艺术.将一张纸片按如图①②的方式沿虚线依次对折后,再沿图③中的虚线裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得图案应该是(　　)

A　B　C　D

8.【方程思想】(2023浙江杭州余杭信达外国语学校月考,10,★★☆)如图所示,△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB,AC边翻折形成的,若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为(　　)

A.80°　　　　B.100°　　　　C.60°　　　　D.45°

9.【分类讨论思想】(2023浙江杭州大关中学联考,15,★★★)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B-∠A=10°,D是AB上一点,将△ACD沿CD翻折后得到△CED,边CE交AB于点F.若△DEF中有两个角相等,则∠ACD=　　　　　.

10.(2023浙江杭州第十四中学附属学校期中,17,★★☆)如图,在2×2的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中△ABC是一个格点三角形,请在下面每一个图中,作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形.(画三个,不能重复)

11.(2023浙江杭州中学期中,17,★★☆)如图,点P在∠AOB的内部,点C和点P关于OA对称,点P和点D关于OB对称,连结OC、OP、OD、CD,CD交OA于M,交OB于N.

(1)①若∠AOB=60°,则∠COD=　　　　°; 

②若∠AOB=α,求∠COD的度数;

(2)连结PM、PN,若CD=4,求△PMN的周长.

12.图①②③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图.

(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点;

(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点;

(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F均为格点.

图①      图②        图③

素养探究全练

13.【抽象能力】(2022浙江绍兴中考)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B,C重合),连结AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连结DC,记∠BCD=α.

(1)如图,当P与E重合时,求α的度数;

(2)当P与E不重合时,记∠BAD=β,探究α与β之间的数量关系.

备用图

答案全解全析

基础过关全练

1.D　根据轴对称图形的概念可得,选项D中图形不是轴对称图形.故选D.

2.A　根据轴对称图形的概念可得,选项A中图形是轴对称图形.故选A.

3.A　根据轴对称的定义可得△ABC≌△ADE,所以∠C=∠E,故①③正确;根据对称轴垂直平分连结两个对称点的线段可得,直线l垂直平分DB,故②正确;成轴对称的两个图形的对应线段或对应线段的延长线如果相交,那么交点一定在对称轴上,故④正确.故选A.

4.D　连结PC(图略),∵EF垂直平分BC,∴B、C关于EF对称,∴BP=CP,∴AP+BP=AP+CP,当点A、P、C在同一条直线上时,AP+CP有最小值,∴AP+BP有最小值,最小值等于AC的长,∴AP+BP的最小值是4.故选D.

5.答案　9

解析　∵曲线C的对称轴为直线b,∴阴影部分的面积等于正方形DOEA'的面积,∵OB=OD=3,∴阴影部分的面积=正方形DOEA'的面积=3×3=9.

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6.D　如图,一共有5条对称轴.故选D.

7.A　根据图形的对称性可知,从直角三角形的斜边剪去一个直角三角形,展开后就是从纸片的四边各剪去一个直角三角形,从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形,展开后就是从纸片的中心剪去一个和纸片位置基本一致的正方形.故选A.

8.A　设∠1=28x°,则∠2=5x°,∠3=3x°,∵∠1+∠2+∠3=180°,

∴28x+5x+3x=180,解得x=5,∴∠1=140°,∠2=25°,∠3=15°,

∵△ABE是△ABC沿AB边翻折形成的,

∴∠BAE=∠1=140°,∠E=∠3=15°,

∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-140°-140°=80°,

∵△ADC是△ABC沿AC边翻折形成的，∴∠ACD=∠3=15°,∴∠ACD=∠E,

∵∠α+∠E=∠EAC+∠ACD,∴∠α=∠EAC=80°.故选A.

9.答案　15°或30°

解析　在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB+∠A+∠B=180°,

∴∠B+∠A=90°,∵∠B-∠A=10°,∴∠A=40°,∠B=50°,

设∠ACD=x°,则∠CDF=(40+x)°,∠ADC=180°-40°-x°=

(140-x)°,由折叠可知,∠ADC=∠CDE,∠E=∠A=40°,

当∠DFE=∠E=40°时,∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°,

∴∠FDE=180°-40°-40°=100°,∴140-x=100+40+x,

解得x=0(不存在);当∠FDE=∠E=40°时,140-x=40+40+x,

解得x=30,即∠ACD=30°;当∠DFE=∠FDE时,

∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°,∴∠FDE=×(180°-40°)=70°,

∴140-x=70+40+x,解得x=15,即∠ACD=15°.

综上,∠ACD=15°或30°.

10.解析　与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示(答案不唯一):

11.解析　(1)①∵点C和点P关于OA对称,∴∠AOC=∠AOP,

∵点P和点D关于OB对称,∴∠BOD=∠BOP,

∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB

=2×60°=120°.

②∵点C和点P关于OA对称,

∴∠AOC=∠AOP.

∵点P和点D关于OB对称,

∴∠BOD=∠BOP,

∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=2α.

(2)根据轴对称的性质可知,CM=PM,DN=PN,

∴△PMN的周长为PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4.

12.解析　(1)如图1,MN即为所求.(答案不唯一)

(2)如图2,PQ即为所求.(答案不唯一)

(3)如图3,△DEF即为所求.(答案不唯一)

图1              图2             图3

素养探究全练

13.解析　(1)∵∠B=40°,∠ACB=90°,

∴∠BAC=50°,

∵P与E重合,AE平分∠BAC,

∴D在AB边上,

由翻折知∠ADC=∠ACD,∵∠ADC+∠ACD+∠BAC=180°,

∴∠ACD=∠ADC=65°,∴α=∠ACB-∠ACD=25°.

(2)①如图1,当点P在线段BE上时,

∵∠ADC=∠ACD=90°-α,∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD,

∴90°-α+β=40°+α,∴2α-β=50°;

图1             图2

②如图2,当点P在线段CE上时,延长AD交BC于点F,

∵∠ADC=∠ACD=90°-α,

∠ADC=∠AFC+α=∠ABC+∠BAD+α=40°+β+α,

∴90°-α=40°+α+β,∴2α+β=50°.

∴α与β之间的数量关系为2α-β=50°或2α+β=50°.