广东省阳江市阳东区2023届九年级上学期期中教学质量监测数学试卷(含解析)

2022－2023学年度第一学期期中教学质量监测

九年级数学试题

说明：

1．本试题共4页，共25小题，考试时间为90分钟，满分120分．

2．考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的考生号，并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑，在指定位置填写学校，姓名，试室号和座位号．

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．

4．非选择题必须在指定区域内，用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔或涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

5．考生务必保持答题卡的整洁，不折叠答题卡，考试结束后，只交回答题卡．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　　）

A． B． C． D．

2．二次函数的图像的对称轴是（    ）

A．直线 B．直线 C．A．直线 D．直线

3．下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．下列对一元二次方程的根的情况判断中正确的是（　　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．不确定

5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）

A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1

C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2

6．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，此时点E恰在边上，则旋转角的大小为（    ）

A． B． C． D．

7．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1x2的值是

A．4. B．3. C．-4. D．-3.

8．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（  ）

A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1)

9．某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为，据题意得方程（    ）

A． B．

C． D．

10．已知二次函数的图象如图，则下列结论：

（1）

（2）方程一定有两个不相等的实数根

（3）y随x的增大而增大

（4）一次函数的图象一定不过第二象限，

其中正确的个数是(   )  

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是     ．

12．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为             ．

13．正方形内一点，，，把绕点顺时针旋转得到，则的长为      ．

14．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是      ．

15．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，则这个二次函数的解析式可以为      （写出一个即可）．

16．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则      ．

17．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是        ．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

18．解方程：．

19．解方程：．

20．如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．

(1)将绕点顺时针方向旋转，在方格图中用直尺画出旋转后对应的．

(2)在方格图中用直尺画出关于原点的中心对称图形．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21．P为等边内的一点，PA=10，PB=6，PC=8，将绕点B顺时针旋转到位置．

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）求的度数．

22．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．

（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．

23．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价元，每天的利润为元，请完成以下问题的解答．

（Ⅰ）用含的式子表示：①每件商品的售价为_______________元；②每天的销售量为______________件；

（Ⅱ）求出与之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24．如图，在等腰直角中，，点D，E在边BC上，且，将绕点A逆时针旋转90°得到，连接EF．

（1）求证：．

（2）若，，求CE．

25．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，恰有线段，求此时点的坐标；

(3)如图，连接，在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

1．D

解析：解：A、该方程分母含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、该方程所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D．

2．C

解析：解：∵，

∴抛物线对称轴为直线x＝3．

故选：C．

中其顶点坐标为（h，k）．

3．B

解析：解：A、即不是中心对称图形也不是轴对称图形，不合题意；

C、D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

故选：B．

4．B

解析：解：∵，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

5．A

解析：解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．

设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．

则，

解得，x＝－4 ，

即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．

所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．

故选：A．

6．C

解析：解：，，

，

绕点C按顺时针方向旋转后得到

，等于旋转角

旋转角为

故选：C

7．B

解析：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，

∴x1x2==3．

故选B．

8．A

解析：解：如图所示，作线段AA'和BB'的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心，

由图可得，点P的坐标为（1，2），

故选：A．

9．C

解析：解：设平均每月增长的百分率为，据题意得方程；

故选C．

10．B

解析：根据图象，x=-1时，y>0

即故①正确

∵二次函数的图象与横轴有两个交点，

∴方程一定有两个不相等的实数根，故②正确

在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故③错误

∵函数的对称轴为，

∴

函数图象与纵轴交点在横轴的下方

∴c<0

∴bc>0

∴函数的图象一定过第二象限，故④错误

故选：B

11．x1=1，x2=﹣2

解析：解：∵（x﹣1）（x+2）=0，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．故答案为x1=1，x2=﹣2．

12．

解析：解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：．

故答案为：．

13．

解析：解：由旋转的性质得到，且，

为等腰直角三角形，

则，

故答案为：．

14．1

解析：解：一元二次方程有两个相等的实数根，

可得判别式，

∴，

解得：．

故答案为：

15．（答案不唯一）

解析：解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的图象开口向上，

∴，

∴，

故答案为：．（答案不唯一）

16．1

解析：解：点（-5，b）关于原点对称的点为（a，6），得

a=5，b=-6．

（a+b）2022=（-1）2022=1，

故答案为：1．

17．

解析：解：∵二次函数的对称轴是，当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴﹣≤1，

∴m≥1．

故答案为：．

18．，

解析：解：∵，

∴，

∴或，

∴，．

19．，

解析：解：∵，

∴，

∴或，

解得，．

20．(1)见解析

(2)见解析

解析：（1）解：如图为所求图形；

（2）如图为所求图形．

21．（1）△BPP′是等边三角形，理由详见解析；（2）150°．

解析：（1）△BPP′是等边三角形；理由如下：

∵△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP′位置，

∴BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=CP′=10，

∴△BPP′是等边三角形；

（2）∵△BPP′是等边三角形，

∴∠BPP′=60°，PP′=PB=6，

∵，

∴，

∴△PCP′是直角三角形，∠P′PC=90°，

∴∠BPC=∠BPP′+∠P′PC=60°+90°=150°．

22．(1) m≥﹣9;(2)3

解析：（1）根据题意得：△=36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9；

（2）根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m．

∵x1+x2﹣2x1x2=0，∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，解得：m=3（符合题意），即m的值为3．

23．（I）①（145−x），②（40＋2x）；（II）y＝−2（x−20）2＋3200，售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．

解析：（I）由题意可知：①每件商品的售价为：（145−x）元；②每天的销售量为：（40＋2x）件；

故答案为：①（145−x），②（40＋2x）；

（II）根据题意可得：y＝（145−x−80−5）（2x＋40），＝−2x2＋80x＋2400，＝−2（x−20）2＋3200，

∵a＝−2＜0，

∴函数有最大值，

∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145−20＝125元，

∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．

24．（1）见解析；（2）3

解析：解：（1）∵将绕点A逆时针旋转90°得到，

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∵，，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°，

∴∠CAF+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°，

即∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠DAE，

∵AE=AE，

∴△DAE≌△FAE，

∴DE=EF；

（2）∵将绕点A逆时针旋转90°得到，

∴∠B=∠ACF，CF=BD=4，

在等腰直角中，，

∴∠B=∠ACB=45°，，

∴∠ACF=45°， ，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，

∵BD=4，

∴DE+CE=8，

∵DE=EF，

∴EF+CE=8，

∴EF=8-CE，

在 中， ，

∴ ，

解得： ．

25．(1)

(2)

(3)存在，点坐标为或

解析：（1）解：将和代入，

，

解得，

；

（2）令，则，

，

设的解析式为，

，

解得，

，

设，则，，

，，

，

，

解得或，

是线段下方抛物线上，

，

，

；

（3）存在点，使得为直角三角形，理由如下：

设，

，，，

当时，，

解得舍；

当时，，

解得，

；

当时，，

解得舍或，

；

综上所述：点坐标为或