广东省阳江市阳东区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份广东省阳江市阳东区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省阳江市阳东区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列三条线段能构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，4cm，8cm D．2cm，2cm，8cm
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD＝3，则AC的长度为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
4．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．1 1
5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，AD为△ABC的中线，AB＝10，AC＝4，则AD的长度可能为（　　）

A．2.9 B．5.4 C．7.3 D．8.8
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，AE＝8，则CF＝（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△ABF＝mn，正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，则2m+3n的值为　 　．
12．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B的度数为　 　°．

13．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2cm，则AB的长是 　 　cm．

14．（4分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为　 　．

15．（4分）等腰三角形中有一个内角为40°，则其底角的度数是　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝4，BD＝3，AB＝5，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值为 　 　．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A5＝　 　．

三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC．

19．（6分）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．

20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝100°．
（1）试说明△BAD≌△CAE；
（2）若DE＝DC，求∠CDE的度数．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 　 　；
（3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．

23．（8分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD．
（1）图中与△BDE全等的三角形是　 　，请加以证明；
（2）若AE＝8cm，AC＝5cm，求BE的长．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．

25．（10分）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝2∠BAO．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．


2022-2023学年广东省阳江市阳东区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．下列三条线段能构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，4cm，8cm D．2cm，2cm，8cm
【分析】根据三角的形三边关系判断即可．
【解答】解：A：1+2＝3，构不成三角形，故不符合题意；
B：3+4＞5，能构成三角形，故符合题意；
C：4+4＝8，构不成三角形，故不符合题意；
D：2+2＜8，构不成三角形，故不符合题意；
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD＝3，则AC的长度为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】由作法得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝30°，再计算出∠DBC＝30°，则BD＝2CD＝6，从而得到AD＝6，然后计算AD+CD即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝6，
∴AD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9．
故选：A．
4．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．1 1
【分析】多边形的外角和等于360°
【解答】解：∵一个多边形的每一个内角都等于140°，
∴这个多边形的每一个外角都等于180°﹣140°＝40°，
∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为360°÷40°＝9．
故选：B．
5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：C．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
故选：D．
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】利用折叠可以得到∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED进而解题．
【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED
＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）
＝360°﹣2×150°
＝60°．
故选：D．
8．如图，AD为△ABC的中线，AB＝10，AC＝4，则AD的长度可能为（　　）

A．2.9 B．5.4 C．7.3 D．8.8
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，由“SAS”可证△EBD≌△ACD，可得BE＝AC＝4，由三角形的三边关系可得3＜AD＜7，即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△EBD与△ACD中，
，
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝10，
即6＜2AD＜14，
∴3＜AD＜7，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，AE＝8，则CF＝（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD＝∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△FAE，则CE＝AE＝6，然后计算CE﹣HE即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠BCE+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△BCE和△FAE中，
，
∴△BCE≌△FAE（AAS），
∴CE＝AE＝8，
∴CF＝CE﹣FE＝8﹣6＝2．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△ABF＝mn，正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，则2m+3n的值为　﹣5　．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得m＝2，n＝﹣3，然后再代入2m+3n求值即可．
【解答】解：∵点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴2m+3n＝2×2+3×（﹣3）＝﹣5．
故答案为：﹣5
12．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B的度数为　45　°．

【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由∠C′＝30°求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∵∠C′＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°．
故答案为：45．
13．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2cm，则AB的长是 　4　cm．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm，
故答案为：4．
14．（4分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为　8　．

【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PC＝2，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过P作PE⊥OD于E，
∵OP平分∠DOC，∠C＝90°，PC＝2，
∴PE＝PC＝2，
∵OD＝8，
∴△OPD的面积是＝＝8，
故答案为：8．
15．（4分）等腰三角形中有一个内角为40°，则其底角的度数是　40°或70°　．
【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】解：①当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
②当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
综上所述，该等腰三角形的底角是40°或70°，
故答案为：40°或70°．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝4，BD＝3，AB＝5，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值为 　　．

【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝4，BD＝3，AB＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∵D为BC的中点，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，BC＝2BD＝6，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴5•CE＝4×6，
∴CE＝，
∴PE+PB的最小值为，
故答案为：．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A5＝　2°　．

【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据发现后一个角等于前一个角的的规律即可得解，把∠A＝64°代入∠An＝∠A解答即可．
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A，
由此可得一下规律：∠An＝∠A，
当∠A＝64°时，∠A5＝∠A＝2°，
故答案为：2°．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC．

【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．

【分析】先利用三角形周长得到CE+BE＝5，再根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，然后利用等线段代换得到AB的长．
【解答】解：∵△BCE的周长为8，
∴CE+BE+BC＝8，
又∵BC＝3，
∴CE+BE＝5，
又∵DE是AC的中垂线，
∴EC＝EA，
∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝5．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．

【分析】（1）依据垂直平分线的尺规作图方法，即可得到DE；
（2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到AE＝BE，进而得出△ACE的周长＝AC+BC，依据AC＝6cm，CB＝8cm，即可得到△ACE的周长．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；

（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
又∵AC＝6cm，CB＝8cm，
∴△ACE的周长＝6+8＝14（cm）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝100°．
（1）试说明△BAD≌△CAE；
（2）若DE＝DC，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）证明∠B＝∠ACB＝∠ACE＝40°，推出∠DCE＝80°，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝100°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACB＝40°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝40°，
∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝80°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝80°，
∴∠EDC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 　　；
（3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据分割法即可求得△A1B1C1的面积；
（3）连接BC1交y轴于点P，即可使PB+PC最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1的面积＝3×5﹣1×5﹣2×3﹣2×3＝；
故答案为：；

（3）如图，点P即为所求．
23．（8分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD．
（1）图中与△BDE全等的三角形是　△CFD　，请加以证明；
（2）若AE＝8cm，AC＝5cm，求BE的长．

【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE＝DF，再利用HL证明Rt△BED与Rt△CFD全等，
（2）根据全等三角形的性质得出BE＝CF，进而解答即可．
【解答】解：（1）△BED与△DFC全等，理由如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）；
故答案为：△DFC；

（2）∵Rt△BED≌Rt△DFC，AE＝8cm，AC＝5cm，
∴BE＝CF，AF＝8cm，
∴BE＝CF＝AB﹣AC＝8﹣5＝3cm．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．

【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得∠AEB的度数；
②与①同理，只是把具体度数转化为角表示出来即可得结论；
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．
【解答】
解：（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
答：∠AEB的度数是135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
同①，得
∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE
＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）
＝180°﹣×90°
＝135°．
答：∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°．
（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：
如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，
∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，
即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，
∴由题意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．
①∠EOQ＝45°，
∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∠E＝∠F，∵∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝22.5°，∴∠BAO＝45°，
∴∠ABO＝45°．
故答案为60°或45°．
25．（10分）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝2∠BAO．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

【分析】（1）先判断出∠BDC＝∠BAC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，即可得出结论．
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【解答】证明：（1）∵B（﹣1，0），C（1，0），
∴OB＝OC，
∵OA⊥BC，
∵∠BAC＝2∠BAO，
∵∠BDC＝2∠BAO，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠DFB＝∠AFC，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDC﹣∠BFD＝180°﹣∠BAC﹣∠AFC＝∠ACD
即∠ABD＝∠ACD；

（2）如图1，过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；

（3）∠BAC的度数不变化；
如图2，理由：在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．