初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形第2课时教案及反思

第十三章 轴对称

13.3  等腰三角形

13.3.1  等腰三角形

第2课时   等腰三角形的判定

一、教学目标

1.理解并掌握等腰三角形的判定.

2.探索等腰三角形的判定的过程，并运用其进行计算和证明.

二、教学重难点

重点：等腰三角形的判定方法.

难点：运用等腰三角形的判定进行计算和证明.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]1.          两边相等                           的三角形叫做等腰三角形.

2. 等腰三角形的性质1.

（等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.）

3.等腰三角形的性质2.

（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.）

教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为本节课做准备.

【新知探究】

知识点   等腰三角形的性质

[提出问题]如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？画一个这样的三角形动手测量一下吧！

[动手操作]学生在练习本上画出一个两角相等的三角形，用直尺测量这两角所对的边的长度，得到结果：两角所对的边相等.

[提出问题]根据你的测量结果，你能猜想到什么呢？你能证明这个猜想吗？（如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等.）

[小组讨论]学生之间讨论，教师引导学生写出已知和求证，提示学生作辅助线，证全等.之后代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.最后得到如下证明过程：

已知：如图，在△ABC中，∠B= ∠C.

求证：AB=AC.

证明：如图，作△ABC的角平分线AD,则∠1= ∠2.

又AD=AD，∠B ∠C，∴ △BAD≌△CAD (AAS).

∴AB=AC.

[归纳总结]等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

该判定方法的几何语言：

如图，在△ABC中，

∵∠B=∠C，

∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形.

并题型学生，该判定方法是今后证明两条线段相等的常用方法.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下试题：

辨一辨：下列推理正确吗?

（1）如图①，∵∠1=∠2, ∴BD=DC（等角对等边）.

（2）如图②，∵∠1=∠2,∴DC=BC（等角对等边）.

错，因为都不是在同一个三角形中.

[归纳总结]“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等，再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

[提出问题]等腰三角形的性质与判定有什么样的关系？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例1    求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.

求证：AB=AC.

分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.

证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（       两直线平行，同位角相等          ），

  ∠2=∠C（      两直线平行，内错角相等          ）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，

∴AB=AC（         等角对等边              ）．

例2   已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.

作法：（1）作线段AB=a.

（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.

（3）在MN上取一点C，使得DC=h.

（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.

例3   (2021•淄博节选)如图,在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.求证:BE=DE.

证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD.

∵DE∥BC,

∴∠EDB=∠CBD.

∴∠ABD=∠EDB.∴BE=DE.

【总结】平分角+平行=等腰三角形.

【变式】(2021•徐州节选)如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处.求证:△AEF是等腰三角形.

证明:由折叠性质可知，∠AEF=∠CEF.

由长方形性质可得AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF.

∴∠AEF=∠AFE.

∴AE=AF，即△AEF为等腰三角形.

【课堂小结】

【课堂训练】

1.下列三角形中，不是等腰三角形的是（　A　）

2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，若AB=6cm，则AC的长为(  C  )

A.4cm     B.5cm      C.6cm      D.8cm

3.如图, AC,BD相交于点O ,∠A=∠D,如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形,那么你补充的条件不能是(   C   )

A.OA=OD       B.AB=CD       C.∠ABO=∠DCO      D.∠ABC=∠DCB

【解析】要使△BOC是等腰三角形, 需证得BO=CO.题中有两个隐含条件：∠AOB=∠DOC，BC为公共边.

A.可利用“ASA”证明△AOB≌△DOC,∴BO=CO;

B.可利用“AAS”证明△AOB≌△DOC,∴BO=CO;

C.不能证明;D.可利用“AAS”证明△ABC≌△DCB,∴∠OCB=∠OBC，∴BO=CO.故选C.

4.如图,在△ABC中, AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，下列说法正确的是(  B   )

A.△ABD是等腰三角形      B.△AGF是等腰三角形

C.△BEF是等腰三角形      D.△ADC是等腰三角形

【解析】∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2.

∵EF∥AD，∴∠1=∠3,∠2=∠G.∴∠3=∠G.

∵∠2=∠4，∴∠4=∠G.

∴AF =AG,即△AGF为等腰三角形.故选B.

5.(2021•保定一模)嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后,嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上.若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为(   C   )

A.0.5m/s      B.0.8m/s     C.1m/s     D.1.2m/s

【解析】∴AB=BC,则嘉嘉和淇淇所走的路程相同.∵两人同时从点B出发，说明所用时间相同，那么速度也相同.故选C.

6.如图,在△ABC中, AB=AC,∠A=36°,角平分线BD,CE相交于点O,则∠ABC=  72   °，∠ACE=     36     °，∠BEC=     72    °，∠BOE=    72   °，图中的等腰三角形共有      8   个，分别为        △ABC,△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△EBO,△DCO               .

7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM=5,CN=6，求线段MN的长.

解：∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2.

∵MN∥BC,∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3.∴BM=ME=5.

同理可得EN=CN=6.

∴MN=ME+EN=5+6=11.

8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD,∠C与∠BAD互补.若AD=3，则AC的长.

解:延长AD,交BC的延长线于点E.

∵BD平分∠ABC，AD⊥BD,BD=BD，∴△ABD≌△EBD(ASA),∴AD=ED,AB=EB.

∴∠E=∠BAD.

∵∠BCA+∠ACE=180°,∠BCA与∠BAD互补,

∴∠ACE=∠BAD.∴∠ACE=∠E.∴AC=AE=2AD=3.

9.如图,在△ABC中,∠B=25°，∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时,求其顶角的度数.

解:∵∠B=25°，∠A=100° ,

∴∠C=180°-25°-100°=55°.

第一种情况：如图1 ,当点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°.

第二种情况：如图2，当点P在BC上时，若AC=PC ,顶角为∠C=55°;

如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°.

第三种情况：当点P在AC上时，构不成三角形，所以这种情况不存在.

综上所述,当△PAC成为等腰三角形时,求其顶角的度数分别为100°或55°或70°.

【教学反思】

本节课通过与学生一起回顾总结等腰三角形的定义和性质为学习等腰三角形的判定做了知识铺垫．之后将本节课的学习目标展示给学生，让学生做到心中有数，动手操作，提高学生的学习兴趣，使学生马上进入学习状态，在总结了等腰三角形的判定方法后，让学生归纳比较等腰三角形的性质和判定的区别，同时习题的设置也将等腰三角形的性质定理与判定定理有机的结合起来，重在培养学生对两个知识点的综合运用，习题的设置上，还自然地渗透了分类讨论的数学解题思想．整节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是练习题目设置较多，时间有点紧．