苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列第3课时一课一练

第3课时 等差数列前项和的性质及应用（2）

分层作业

A层 基础达标练

1. 数列的前项和为，，则当取最小值时，的值为(  )

A. 4或5 B. 5或6 C. 4 D. 5

2. 已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时,的值为(  )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

3. 若两个等差数列,的前项和分别为，，且满足，则的值为(  )

A.  B.  C.  D.

4. 记为等差数列的前项和，若，则(  )

A.  B.  C.  D.

5. 已知等差数列的通项公式为，则等于.

6. 已知在等差数列中，,.

（1） 求数列的通项公式.

（2） 若数列的前项和为，则当为何值时，取得最大值？并求出此最大值.

B层 能力提升练

7. 设是等差数列的前项和，若，则等于(  )

A. 1 B.  C. 2 D.

8. （多选题）已知等差数列的前项和为，，，则(  )

A. 数列 单调递减 B. 数列 单调递增

C. 有最大值 D. 有最小值

9. 已知等差数列的前项和为，，公差，.若取得最大值，则的值为(  )

A. 6或7 B. 7或8 C. 8或9 D. 9或10

10. 已知等差数列的前12项的和为60，则的最小值为.

11. 已知数列中，,，数列满足

（1） 证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2） 求的值；

（3） 求数列中的最大项和最小项，并说明理由.

C层 拓展探究练

12. 设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

13. 数列为等差数列，且满足，数列满足,的前项和记为.问：当为何值时，取得最大值？说明理由.

第3课时 等差数列前 项和的性质及应用（2）

分层作业

A层 基础达标练

1. C

2. B

3. A

4. C

5. 25

6. （1） 解 设等差数列的公差为，则，解得，所以的通项公式为.

（2） 因为，令，得，令，得，故当时，取得最大值，其中,，故最大值为.

B层 能力提升练

7. A

8. AC

[解析]因为，根据题意，，是关于的减函数，故数列单调递减，故正确，错误；，又，故有最大值，没有最小值，故正确，错误.故选.

9. B

10. 60

11. （1） 解 因为,.又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以.

（2） 记的前项和为，则.由，得，即当时，；当时，.

①当时，.

②当时，.

（3） 由，得.又函数在 ,和,上均单调递减，

由函数的图象，可得，.

C层 拓展探究练

12. B

[解析]原式

,.

因为,所以,

所以,.

由,

对称轴方程为，由题意知，当且仅当时, 数列的前项和取得最大值,所以,解得 ,所以首项的取值范围是,.故选.

13. 解 当时，取得最大值，理由如下：设的公差为,因为，所以,解得，所以，，故是首项为正数的递减数列.

由得

解得，

即，，

所以，

所以，

而，，故，，，.

又，所以中最大，即当时，取得最大值.