苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列第2课时课后练习题

第2课时 等比数列的性质及应用

分层作业

A层 基础达标练

1. 已知等比数列满足,,则(  )

A.  B. 27 C. 81 D. 243

2. 在正项等比数列中，,，则(  )

A. 4 B. 8 C. 32 D. 64

3. 在等比数列中，,,则(  )

A. 8 B.  C. 16 D.

4. 在正项等比数列中，是与的等差中项，若，则(  )

A. 4 B. 8 C. 32 D. 64

5. （多选题）已知数列为等比数列，则(  )

A. , , 成等比数列

B. , , 成等比数列

C. , , 成等比数列

D. , , 成等比数列

6. 在数列中,,,则.

7. 已知等比数列的公比为,则的值是.

8. 有四个数,前三个数成等差数列,它们的和为12,后三个数成等比数列,它们的和为19,求这四个数.

B层 能力提升练

9. 在等比数列中，,是方程的根，则的值为(  )

A.  B.  C.  D. 或

10. 已知数列是等比数列,满足,数列是等差数列,且,则(  )

A. 24 B. 16 C. 8 D. 4

11. 两个公比均不为1的等比数列,,其前项的乘积分别为,.若,则(  )

A. 512 B. 32 C. 8 D. 2

12. （多选题）已知等比数列,则下列式子对任意正整数都成立的是(  )

A.  B.

C.  D.

13. 在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假定某种传染病的基本传染数,那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为(  )

注:初始感染者传染个人为第一轮传染,这个人每个人再传染个人为第二轮传染.

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

14. 写出一个同时具有下列性质①②③的数列的通项公式：.

①数列是无穷等比数列；

②数列不单调；

③数列单调递减.

15. 已知各项都为正数的等比数列,,,则满足的最大正整数的值为.

16. 画一个边长为2的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形,……这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于.

17. 已知在各项均不为0的数列中,,,成等差数列,,,成等比数列,,,的倒数成等差数列,求证：,,成等比数列.

18. 设数列是公比小于1的各项均为正数的等比数列,已知,且,,成等差数列.

（1） 求数列的通项公式；

（2） 若,且数列是递减数列,求实数 的取值范围.

C层 拓展探究练

19. 已知等差数列的公差,数列为正项等比数列，,,则下列结论正确的是(  )

A.  B.  C.  D.

20. 已知等比数列的各项均为正数,且,

（1） 求数列的通项公式；

（2） 设,,求数列的最大项.

第2课时 等比数列的性质及应用

分层作业

A层 基础达标练

1. D

2. D

3. C

4. D

5. BD

6.

7.

8. 解 由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4.

设前三个数分别为，4，，由于后三个数成等比数列，则第四个数为.

由后三个数之和为19，得，整理得，解得或.

若，则这四个数分别为2，4，6，9；

若，则这四个数分别为18，4，，25.

因此，这四个数分别为2，4，6，9或18，4，，25.

B层 能力提升练

9. B

10. C

11. A

12. BD

13. B

14. （答案不唯一）

15. 4

[解析]因为，且，所以.设的公比为，则，解得（舍去）或，所以,所以，所以，即，所以的最大值为4.

16. 2 048

[解析]依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列，所以，所以第10个正方形的面积.

17. 证明 由已知，得，①

，②

,③

由③得，

所以

由①得

将④⑤代入②，得

，

所以，

即，

化简，得.

又，，均不为0，

所以，，成等比数列.

18. （1） 解设数列的公比为.

由题意，可得，且.

由，，成等差数列，

得，即，

解得或（舍去），

所以.

（2） ，

由,得,即，所以.故实数 的取值范围为.

C层 拓展探究练

19. C

[解析]设等比数列的公比为，若，则，得，解得，不符合题意，所以，得.又，，令，得，即，设，,，则，且，所以①式变为.由题意知，和是方程的两个解，令，且，则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点，作出两个函数图象如图，

当函数与单调递增或递减时，才会有2个解，且无论哪种情况，都有时，；时，；时，.故，，，，

即，，，.故选.

20. （1） 解设等比数列的公比为，

因为，，

所以，

所以.

因为，所以，

所以.

（2） ，

所以的最大项为.