数学必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精品同步练习题

函数的概念及其表示方法

一 函数的概念

1 概念

设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

2 定义域

① 概念 函数自变量的取值范围.

② 求函数的定义域主要应考虑以下几点

(1)分式的分母不等于零；    (2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于；

(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.

3 值域 

① 概念 函数值的取值范围

② 求值域的方法

(1)配方法       (2)数形结合    (3) 换元法

(4)函数单调性法  (5)分离常数法  (6)基本不等式法

4 区间

实数集表示为.

二  函数的表示方法

1表格法

如上表，我们很容易看到与之间的函数关系.

在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.

2 图像法

如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势.

数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.

3 解析式

求函数解析式的方法

(1)配凑法   (2)待定系数法    (3)换元法  (4)构造方程组法 (5)代入法

【题型一】 函数概念的理解

【典题1】 设集合给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 (      )

【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　)

①              ②

③       ④ ．

① ② ③ ．④

【题型二】求函数的定义域

【典题1】 函数的定义域是       .

【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是       (　　)

           ． 

   ．

【典题3】 已知定义域为，求的定义域.

【题型三】求函数的值域

方法1  配方法

【典题1】 求函数在区间的值域.

方法2 数形结合

【典题2】 求函数的值域.

方法3 换元法

【典题3】 求函数的值域.

【典题4】 函数在上的值域为　      　．

方法4 函数单调性法

【典题5】 函数的值域为      .

方法5 分离常数法

【典题6】 求函数的值域.

方法6 基本不等式法(对勾函数法)

【典题7】 求函数的值域.

巩固练习

1(★) 函数与函数                     (　　)

是同一个函数  定义域相同   图象重合   值域相同

2(★) 函数的定义域为  　    .

3(★★) 已知函数定义域为，则函数的定义域为      　.

4(★★) 函数的值域是为　  　.

5(★★) 函数的值域为　  　.

6(★★) 函数的值域为　  　.

7(★★) 函数的值域为　  　.

8(★★★) 求函数的值域.

【题型四】分段函数

【典题1】设函数，若，则　  　．

【典题２】已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围为      .

 【题型五】求函数解析式

方法1 配凑法

【典题1】已知求的解析式.

方法2 待定系数法

【典题２】已知函数是二次函数，若，求的解析式．

方法3 换元法

【典题３】已知求.

方法4 构造方程组法

【典题４】设满足求的解析式.

方法5 代入法

【典题５】与函数的图象关于点对称的函数是       .

巩固练习

1(★) 已知函数，若，则的值是　  　．

2 (★★) 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为　

3(★★) 已知一次函数满足条件，则函数的解析式为　  　．

4(★★) 已知，则函数的解析式为　  　．

5(★★★) 已知，对于任意实数，等式，求的解析式.