数学选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第2课时课时练习

第2课时　导数的几何意义

知识点一  导数的几何意义

1.下列说法正确的是(　　)

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在

答案　C

解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.

2．设f(x)为R上的可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)

A．2  B．－1

C．1  D．－2

答案　D

解析　∵ ＝

＝ ＝f′(1)＝－1，∴f′(1)＝－2.由导数的几何意义，知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)>f′(xB)

B．f′(xA)<f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)

D．不能确定

答案　B

解析　由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA<kB<0.由导数的几何意义，得f′(xA)<f′(xB).

知识点二  导函数的概念

4.函数在某一点的导数是(　　)

A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比

B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

答案　C

解析　根据函数在一点处的导数的定义，可知选C.

知识点三  求曲线在某点处的切线方程

5.若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　C

解析　设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)

＝

＝ (4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a＝1，即a＝3.

6．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，f(0)＝2，则在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．2x－y＋1＝0  B．2x＋y＋1＝0

C．2x－y－1＝0  D．2x＋y－1＝0

答案　A

解析　因为f(x)＝ax2＋c，所以

f′(1)＝ ＝ (2a＋a·Δx)＝2a＝2，所以a＝1.又因为f(0)＝2，所以c＝2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(1)＝3.故在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝3，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－4，则实数a的值为________．

答案　－2

解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝3.又切线在y轴上的截距为－4，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝3x－4，从而可得切点坐标为(1，－1)，所以f(1)＝1＋a＝－1，即a＝－2.

8．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

解　联立两曲线方程，得解得

即交点坐标为(1,1)．

因为曲线y＝在点(1,1)处的切线斜率为

y′|x＝1＝ ＝ ＝－1，

所以曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.

因为曲线y＝x2在点(1,1)处的切线斜率为

y′|x＝1＝

＝

＝ (2＋Δx)＝2，

所以曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图阴影部分所示，所以S＝×1×＝，

即三角形的面积为.

一、选择题

1．某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　)

答案　B

解析　从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．

2．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

答案　B

解析　由导数的几何意义可得0<f′(3)<f′(2)．设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝，即为直线AB的斜率．由图可知，直线AB的斜率大于f′(3)，小于f′(2)．故选B.

3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝1，b＝1  B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1  D．a＝－1，b＝－1

答案　A

解析　∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.又y′＝ ＝2x＋a，∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.

4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则的值为(　　)

A.  B．－

C．  D．－

答案　D

解析　∵y′|x＝1＝

＝ ＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴3·＝－1，∴＝－.

5．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标可能为(　　)

A．(1,0)  B．(2,8)

C．(－1，－4)  D．(－1,4)

答案　AC

解析　f′(x)＝

＝ ＝3x2＋1.

由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选AC.

二、填空题

6．如图是函数f(x)及f(x)在点P处的切线的图象，则f(2)＝________，f′(2)＝________.

答案　　－

解析　由题图可知f(x)在点P处的切线方程为y＝－x＋，所以f(2)＝，f′(2)＝－.

7．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．

答案　2x－y＋4＝0

解析　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.∴所求直线方程为2x－y＋4＝0.

8．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．

答案　

解析　∵f′(x)

＝

＝ ＝ (Δx＋2x＋2)

＝2x＋2.

∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.

由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，

∴点P横坐标的取值范围为.

三、解答题

9．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．

解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，

∵f′(x)＝

＝

＝3x2－4x，

∴k＝f′(x0)＝3x－4x0.

由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，

解得x0＝－或x0＝2，

∴切点的坐标为或(2,3)．

当切点为时，

有＝4×＋a，解得a＝.

当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.

∴当a＝时，切点坐标为；

当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．

10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．

解　(1)∵＝

＝＝2x＋Δx＋1，

令Δx→0，得y′＝2x＋1，

∴y′|x＝1＝3，∴直线l1的方程为y＝3x－3.

设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)，则直线l2的斜率为y′|x＝b＝2b＋1.

∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，∴b＝－，

∴B，

故直线l2的方程为y＋＝－，

即y＝－x－，即3x＋9y＋22＝0.

(2)如图所示，设直线l1，l2和x轴围成的三角形为△ABC.

解方程组

得

∴直线l1和l2的交点坐标为.

又直线l1，l2与x轴交点的坐标分别为B(1,0)，A，

∴所求三角形的面积为S＝××|－|＝.