2022-2023学年黑龙江省大庆市第十中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省大庆市第十中学高二下学期期末数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年黑龙江省大庆市第十中学高二下学期期末数学试题

一、单选题
1．设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（    ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.
【详解】依题意，，若，则，，
此时不满足对任意的，都有，所以，则，
若对任意的，都有，则，所以，
则，即，
所以，则，即，
所以，依题意，任意的，，
因为函数在单调递减，值域是，
因此，解得，所以，
故是“对任意的，都有”的充分且必要条件.
故选：C
2．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】化简已知得，得，即得解.
【详解】解：因，两边取对数得：，
令，则，而，于是得，即，
所以.
故选：B
3．的展开式中的常数项为（    ）
A．1 B． C．39 D．
【答案】D
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】由题意可得：的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
4．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数（不为素数）能唯一地写成（其中是素数，是正整数，，将上式称为自然数的标准分解式，且的标准分解式中有个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（    ）
A．6 B．13 C．19 D．60
【答案】C
【分析】首先根据的标准分解式得到，然后根据这6个素数的特点进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．
【详解】根据的标准分解式可得，
故从2，2，2，3，3，5这6个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：
①选取3个2，可以组成1个三位数；
②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成个不同的三位数；
③选取1个2后，再选2个3，可以组成个不同的三位数；
④选取2，3，5，可以组成个不同的三位数；
⑤选取3，3，5，可以组成个不同的三位数；
所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成个不同的三位数.
故选：C．
5．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，，， ，故，所以.
故选：B.
6．若X～B（20，0.3），则（    ）
A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320
C．D（X）＝4 D．P（X＝10）
【答案】D
【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，


故选：D
【点睛】本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
7．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线关于对称，以及整体概率这两个特点，可以求出的值
【详解】解：随机变量服从正态分布，，
又，，
，
故选：D．
8．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，
将其代入可得：，
显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得.
故选：D.
【点睛】求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.

二、多选题
9．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（    ）
A． B．当时，
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC，根据基本不等式的应用判断D.
【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，所以，所以C正确；
D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D正确．
故选：BCD．
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A错误；
对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，
在其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B错误；
对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，
由捆绑法：将“礼”“书”“数”看成一个整体，
与其他3门课程全排列，共有种排法，故C正确；
对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，
若课程“乐”排在最后一周，有种排法，
若课程“乐”不排在最后一周，有种排法，
所以共有种排法，故D正确．
故选：CD．
11．已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
X
0
a
2
P

b

其中结论正确的是（    ）
A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
【答案】ABC
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差的计算公式，独立重复事件的概率公式进行计算求解，最值问题可结合函数的性质求解.
【详解】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差
，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.
故选：ABC.
12．已知，，则（    ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数的极值点有2个 D．函数存在唯一零点
【答案】AB
【分析】根据研究在上的单调性，求出最大值即可判断A；求出的最小值，根据最小值的范围即可判断B；通过分析的零点情况即可判断的极值点个数，即可判断C；由在上的单调性得出，即可判断零点情况，从而判断D．
【详解】，，
对于A：
令，则恒成立，
所以在上单调递增，即，
所以在上单调递增，则，故A正确；
对于B：
由选项A得，则恒成立，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，即，所以在上单调递减，
当时，，即，所以在上单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，
，其中，
所以，故B正确；
对于C：
若函数有2个极值点，则有两个实数根，
设，
则，
因为当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以在至多有1个实数根，故C错误；
对于D：
由选项C可知，在上单调递增，
因为，
所以在上单调递增，
又因为，
所以当时，，
所以函数在上没有零点，故D错误，
故选：AB．

三、填空题
13．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为 ．
【答案】10
【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出，用通项公式求解即可.
【详解】因为的二项展开式的各项系数和为32，
令得：，解得，所以.
通项公式为：，
令，得：，
所以的系数为：.
故答案为：10
14．已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则
【答案】/
【分析】由正态分布的性质求，再结合二项分布的方差公式求.
【详解】因为，又，
所以，
所以，
所以产品的质量指标值不位于区间的概率为，
因为表示件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，
所以，
所以，
故答案为：.
15．给出下列四个结论：
(1)相关系数的取值范围是；
(2)用相关系数来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越差；
(3)一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，则其中所含白球个数的期望是2；
(4) 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为,且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为.
其中正确结论的序号为 .
【答案】(3)(4)
【详解】分析：（1）相关系数的范围；（2）由相关指数r的含有知，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好；（3）离散型随机变量的期望；（4）根据期望公式得到3a+2b=2，进而利用均值不等式求最值.
详解：（1）相关系数的取值范围是，故（1）错误；
（2）用相关指数r来刻画回归效果，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好，故（2）错误；
（3）含零个白球的概率为，含一个白球的概率为，含二个白球的概率为，含三个白球的概率为，含四个白球的概率为，
白球个数的期望为：，故（3）正确；
（4）∵3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），
∴=（）•（3a+2b）=（6+++）≥（+2）
=（+4）=（当且仅当a=2b，即a=，b=时取“=”），故（4）正确．
其中正确结论的序号为：（3）（4）．
故答案为（3）（4）．
点睛：本题考查相关系数的有关概念，考查离散型随机变量的期望及概率统计与基本不等式的综合应用，属于中档题．
16．正方形ABCD的边AB在直线上，C、D两点在抛物线上，则正方形ABCD的面积为 ．
【答案】18或50
【分析】设出点的坐标，由正方形的特征建立等量关系求解即可.
【详解】如图：
  
设，，不妨设，
因为，，所以，化为①.
由正方形可得，
所以②，
①②联立化为.
解得或或（舍）或（舍）.
当时，，所以此时正方形的面积为18.
当时，，所以此时正方形的面积为50.
故答案为：18或50.

四、解答题
17．已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前12项和．
【答案】(1)，
(2)2796

【分析】（1）由数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据题意写出数列通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为，
由题意可得，，即，
所以，
因为，所以，
所以，．
（2）由（1）可得，
所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；
所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．
所以，

．
18．如图，将三棱锥的侧棱放到平面内，，，，，平面平面.
  
(1)证明：平面⊥平面；
(2)若，平面与平面夹角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）利用面面垂直得到线面垂直：平面，从而得到，再利用线线垂直得到线面垂直：平面，再利用线面垂直得出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出结果.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面=，，又平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以平面⊥平面.
（2）记点在平面内的投影为，连接，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
  
因为，平面与平面夹角的正切值为，
所以DE=，BE=，
则，），，
从而，，
设平面的法向量为，则由,
得到令，得，
所以，
易知，平面的一个法向量为，
，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅2022年6月印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022－2025年）》，为了更具有针对性，某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区500个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计这个家庭燃气使用量（单位：m3），得到如下频数分布表（第一行是燃气使用量，第二行是频数），并将这一个月燃气使用量超过22 m3的家庭定为“超标”家庭．







8
14
16
30
16
12
4
(1)估计该社区这一个月燃气使用量的平均值；
(2)若该社区这一个月燃气使用量大致服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值（精确到m3），估计该社区中“超标”家庭的户数；
(3)根据原始样本数据，在抽取的个家庭中，这一个月共有个“超标”家庭，市政府决定从这8个“超标”家庭中任选个跟踪调查其使用情况．设这一个月燃气使用量不小于m3的家庭个数为，求的分布列和数学期望．
附：若服从正态分布，则，
，.
【答案】(1)
(2)79
(3)分布列见解析，

【分析】（1）利用组中值可求燃气使用量的平均值；
（2）利用正态分布的对称性结合题设中给出的数据可求该社区中“超标”家庭的户数；
（3）利用超几何分布可求的分布列和数学期望．
【详解】（1）样本数据各组的中点值分别为，
则，
估计该社区这一个月燃气使用量的平均值.
（2）据题意，,
则，  
估计该社区500个家庭中“超标家庭”有个
（3）由频数分布表知8个“超标家庭”有4个不小于24.5，有4个在内，
则的可能取值有，
，，
，，
则的分布列为

1
2
3
4





则.
20．2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军. 这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕. 为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

男
女
合计
喜爱
30

40
不喜爱

40
60
合计
50

100
(1)将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)从观众中任选一人，A表示事件“选中的观众为男性”，B表示事件“不喜欢篮球运动”. 与的比值是性别对运动热爱程度的一项度量指标，记该指标为R.
①证明：；
②利用男观众的数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值.
附：，其中.

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)①证明见解析；②，，

【分析】（1）分析表中数据即可补充完整列联表，然后根据公式计算卡方即可得结论；
（2）根据条件概率公式即可证明，然后根据表中数据计算可得.
【详解】（1）由题意进行数据分析，得到2×2列联表如下：

男
女
合计
喜爱
30
10
40
不喜爱
20
40
60
合计
50
50
100
计算
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.
（2）①证明：


②，，

21．已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设，由题的周长为，据此可得答案；
（2）先讨论两直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到得关于的关系式，由此得解.
【详解】（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以椭圆的方程为.
①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.
②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.
所以.
设的方程为，同理可得.
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
  【点睛】22．设函数，且．
(1)求函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；
（2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可；
方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可.
【详解】（1），，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，时，，则在上单调递减；
时，，则在上单调递增．
（2）方法一：在恒成立，则
当时，，显然成立，符合题意；
当时，得恒成立，即
记，，，
构造函数，，则，故为增函数，则.
故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
记，，，
当时，在单增，在单减，则，得，舍：
当时，在单减，在单增，在单减，，，
得；
当时，在单减，成立；
当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立．
综上所述，．