2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期开学考试数学试题含解析

  大庆中学2022--2023学年度下学期开学初考试

高二年级数学试题

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。）

1．椭圆的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.

【详解】因为椭圆，，，焦点在轴，

所以，焦点坐标为.

故选：A

2．数列的一个通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用与的关系确定的通项，然后得出题设结论．

【详解】

先写出的通项是，

数列的通项公式是．

故选：A．

3．已知圆，则其圆心和半径分别为（    ）

A． B． C． D．

3．C

【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.

【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为.

故选：C.

4．在等差数列中，若，则等于（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【详解】在等差数列中，若,

则，故选：B

5．若两直线与平行，则的值为(    )

A． B．2 C． D．0

由题意知：，整理得，∴，故选：A

6．若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．8或9

【答案】B

【解析】因为，所以，

因为，所以，

所以当的前项和的最大时，的值为8.

故选：B.

7．已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

7．D

【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率.

【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ，

将P点坐标代入得： ，又 ；

故选：D.

8．已知抛物线 ，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则 的最小值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】如图，

作PQ，AN与准线x=-2垂直，垂足分别为Q，N ，则|PQ|=|PF| ，
|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AN|=6 ，当且仅当Q，P，A三点共线即P到M重合时等号成立．
故答案为：B．
 

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部答对得5分，部分答对得2分，有选错给0分。）

9．关于直线l：，下列说法正确的有(     )．

A．过点(，－2)       B．斜率为

C．倾斜角为60°        D．在y轴上的截距为1

【答案】BC

【解析】

对于A，将(，－2)代入l：，可知不满足方程，故A不正确；

对于B，由，可得，所以＝，故B正确；

对于C，由，即，可得直线倾斜角为60°，故C正确；

对于D，由，可得，直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC.

10．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】因为，所以，即，解得或，

又，所以，所以A正确；

数列的通项公式为，所以B正确；

，所以C不正确；

由，得，，

所以，所以D正确．

故选:ABD

11.已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ）

A．M的离心率为 B．M的标准方程为

C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点

11．ACD

【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可

【详解】根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，

则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②

联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；

因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为

对A，则离心率为 ，故 A 正确 .

对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；

对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；

对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .

故选： ACD

12．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(     )．

A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0

B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0

C．公共弦AB的长为

D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为

【答案】ABD

【解析】

对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确．

对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，AB＝1则线段AB中垂线斜率为－1，即线段AB中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确．

对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为，半径r＝1，所以，故C不正确．

对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为，半径r＝1，

即P到直线AB距离的最大值为，故D正确．

故选ABD．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效。）

13．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.

【答案】3

【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线的距离，进而即得.

【详解】因为点P到焦点的距离为4，

所以点P到抛物线准线的距离为4，

所以点P到y轴的距离为3.

故答案为：3.

14．在正项等比数列中，，______.

【答案】4

【解析】在正项等比数列中，，

所以，

所以，，

15．以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________.

【详解】因为为椭圆的焦点，

所以，，

所以由，

所以椭圆的标准方程为：，

如图所示：

因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，

故当处于右顶点时最大，

且最大值为，

故答案为：3.

16．数列满足，，则___________.

16．

【分析】由题可得，进而可得的偶数项构成等差数列，然后根据通项公式即得.

【详解】因为，，

所以，，

由，可得，

所以，

所以的偶数项构成等差数列，首项为，公差为，

∴.

故答案为：.

四、解答题(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知等差数列的前n项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）因为，

所以，

又，则等差数列的公差

又，

所以数列的通项公式.

（2）因为，

所以.

18．已知抛物线过点．

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度．

18．(1)，

(2)

【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；

（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.

【详解】（1）过点，，解得：，

抛物线，准线方程为：

（2）由（1）知：抛物线焦点为，

因为直线倾斜角为，

所以设直线，，，

由得：，，

.

19．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和．

．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由，，

则

设等差数列的公差为，则，所以.

所以

设等比数列的公比为，由题，即，所以.

所以；

（2），

所以的前项和为

.

20．如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面夹角的大小

20．(1)证明见详解；

(2)

【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面与平面夹角公式可求得.

【详解】（1）

如图建系，

设平面的法向量为

所以不妨取

又

又平面，∥平面；

（2）由（1）知：,

设平面的法向量为，平面的法向量

所以不妨取

同理不妨取

设平面与平面夹角为

所以

21．已知圆P过两点M(0，2)，N(，1)，且圆心P在直线y＝x上．

(1)求圆P的方程；

(2)过点Q(－1，2)的直线交圆P于A，B两点，当｜AB｜＝时，求直线AB的方程．

【答案】(1) x2＋y2＝4     (2) 3x＋4y－5＝0或x＝－1．

【解析】

 (1)因为圆P过点M(0，2)，N(，1)，所以线段MN的中垂线也过圆心，线段MN的中点为，直线MN的斜率为，得线段MN的中垂线方程为，即．所以圆心坐标为(0，0)，得圆P的方程为x2＋y2＝4．

(2)由｜AB｜＝，根据垂径定理，可得圆心(0，0)到直线AB的距离．

若直线斜率存在，可设直线AB方程为y－2＝(x＋1)，

由，解得，得直线方程为3x＋4y－5＝0；

若直线斜率不存在，则直线方程为x＝－1，符合条件．

综上，所求直线方程为3x＋4y－5＝0或x＝－1．

22．已知椭圆：的右焦点和上顶点均在直线上.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点，若过点的直线与椭圆交于不同的两点，.直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.

22．(1)，

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，可得椭圆的右焦点和上顶点，从而可求出，再由求出，进而可得椭圆方程，

（2）设直线方程为，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用根与系数的关系，然后表示出和，再计算即可.

【详解】（1）对于直线，当时，，当时，，

因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线上，

所以，

所以，

所以椭圆方程为，

（2）因为在椭圆外，过点的直线与椭圆交于不同的两点，

所以直线的斜率一定存在，

所以设直线方程为，设，

由，得，

，得，

，

因为，，

所以