黑龙江省大庆市大庆中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

大庆中学2022--2023学年度下学期开学初考试
高二年级数学试题
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.
【详解】因为椭圆，，，焦点在轴，
所以，焦点坐标为.
故选：A
2. 数列的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用与的关系确定的通项，然后得出题设结论．
【详解】先写出的通项是，
数列的通项公式是．
故选：A．
3. 已知圆，则其圆心和半径分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.
【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为.
故选：C.
4. 在等差数列中，若，则等于（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的下标和的性质，可知，即可求得答案.
【详解】在等差数列中，若,
则，
故选：B
5. 若两直线与平行，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.
【详解】由题意知：，整理得，
∴，
故选：A
6. 若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 8或9
【答案】B
【解析】
【分析】首先明确当的前项和的最大时,,；再根据等差数列的下标性质，找出满足上述条件的n的值即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以当的前项和的最大时，的值为8.
故选：B.
7. 已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率.
【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ，
将P点坐标代入得： ，又 ；
故选：D.
8. 已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．
【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，
，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．
故选：B．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对得5分，部分答对得2分，有选错给0分.）
9. 关于直线，下列说法正确的有（ ）
A. 过点 B. 斜率
C. 倾斜角为60° D. 在轴上的截距为1
【答案】BC
【解析】
【分析】A. 当时，，所以该选项错误；
B. 直线的斜率为，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以该选项错误.
【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；
B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.
故选：BC
10. 已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求得公比，然后结合等比数列的通项公式、前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为，所以，即，解得或，
又，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
，所以C不正确；
由，得，，
所以，所以D正确．
故选:ABD
11. 已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A. M的离心率为 B. M的标准方程为
C. M的渐近线方程为 D. 直线经过M的一个焦点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可
【详解】根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，
则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②
联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；
因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为
对A，则离心率为 ，故 A 正确 .
对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；
对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；
对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .
故选： ACD
12. 圆和圆的交点为A，B，则（    ）
A. 公共弦AB所在直线的方程为
B. 线段AB中垂线方程为
C. 公共弦AB的长为
D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D的正误．
【详解】对于选项A，因为圆，，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；
对于选项B，圆的圆心为，
则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
对于选项C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于选项D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.）
13. 若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线的距离，进而即得.
【详解】因为点P到焦点的距离为4，
所以点P到抛物线准线的距离为4，
所以点P到y轴的距离为3.
故答案为：3.
14. 在正项等比数列中，，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用等比中项的性质，可得答案.
【详解】在正项等比数列中，，所以，
所以，
故答案为：.
15. 以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用焦点坐标即椭圆中的关系求出椭圆的标准方程，然后分析椭圆上的动点在何处时最大.
【详解】因为为椭圆的焦点，
所以，，
所以由，
所以椭圆的标准方程为：，
如图所示：

因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，
故当处于右顶点时最大，
且最大值为，
故答案为：3.
16. 数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，进而可得的偶数项构成等差数列，然后根据通项公式即得.
【详解】因为，，
所以，，
由，可得，
所以，
所以的偶数项构成等差数列，首项为，公差为，
∴.
故答案为：.
四、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列的前n项和为，，且.
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式计算即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，则等差数列的公差
又，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
因为，
所以.
18. 已知抛物线过点.
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程;
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过得点可求得p的值，即可求得答案；
（2）写出直线的方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，结合抛物线定义可求得抛物线弦长.
【小问1详解】
抛物线过点，则，
故抛物线的方程为，其准线方程为.
【小问2详解】
抛物线的方程为，焦点为，
则直线的方程为，
联立，可得，，
设，则，
由抛物线定义可得，
故.
19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和.
【答案】（1）an=2n+1，bn=3n；（2）.
【解析】
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12，求出，得到数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）根据等差和等比数列的前n项和公式用分组求和法求和.
【详解】（1）由a1=b1，a4=b2，则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2.
所以an=3+2(n-1)=2n+1，
设等比数列{bn}的公比为q，由题意知b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3，所以bn=3n.
（2）an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n)
= .
【点睛】本题考查了等差和等比数列基本量的计算，前项和公式，分组求和法，属于中档题.
20. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求平面与平面夹角的大小．
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面与平面夹角公式可求得.
【小问1详解】

如图建系，
设平面的法向量为
所以不妨取
又
又平面，∥平面；
【小问2详解】
由（1）知：,
设平面法向量为，平面的法向量
所以不妨取
同理不妨取
设平面与平面夹角为
所以
21. 已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
（1）求圆P的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；
（2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【小问1详解】
依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，
因为圆P过两点，，
所以，解得，
所以圆P的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，
此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为.
综上，直线的方程为或.
22. 已知椭圆：的右焦点和上顶点均在直线上.
（1）求椭圆方程；
（2）已知点，若过点的直线与椭圆交于不同的两点，.直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.
【答案】（1），
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，可得椭圆的右焦点和上顶点，从而可求出，再由求出，进而可得椭圆方程，
（2）设直线方程为，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用根与系数的关系，然后表示出和，再计算即可.
【小问1详解】
对于直线，当时，，当时，，
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线上，
所以，
所以，
所以椭圆方程为，
【小问2详解】
因为在椭圆外，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
所以直线的斜率一定存在，
所以设直线方程为，设，
由，得，
，得，
，
因为，，
所以