2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，，则复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

【详解】由得，

故选：D

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集运算求解.

【详解】因为，

所以，

故选:B.

3．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．

【详解】对于A，若，则或，故A错误；

对于B，若，则或，

若，因为，则，

若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，

因为，所以，

又，所以，

综上若，则，故B正确；

对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；

对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.

故选：B.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用公式变形化弦为切求出，代入求值.

【详解】因为，

所以，

，

故.

故选：A

5．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ）

A．120种 B．150种 C．210种 D．216种

【答案】C

【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.

【详解】依题意，每名同学都有种选择方法，

所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.

故选：C

6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ）

A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺

【答案】D

【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.

【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.

故选：D

7．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．6

【答案】B

【分析】设，然后可得，然后根据二次函数的知识可得答案.

【详解】因为在等腰直角中，斜边，所以，

因为、，所以，

设，则，

所以当时，取得最小值，

故选：B

8．已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用的单调性判断函数值的大小.

【详解】令函数，则，

，故函数是定义在上的增函数，

，即，故有；同理可得．

故选：B

二、多选题

9．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ）

A．由的图象向左平移个单位得到

B．对称轴为，

C．在区间上单调递增

D．在区间上恰有3个零点

【答案】BD

【分析】根据正弦函数的图象性质一次分析判断各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，的图象向左平移得的图象，故错误；

对于B选项，令，解得，，故正确；

对于C选项，时，，此时函数不单调，故错误；

对于D选项，时，，恰有对应的三个零点，故正确.

故选：BD

10．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）

A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法

C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.

【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；

男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；

男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；

三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.

故选：AC

11．设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ）

A．的离心率的取值范围为

B．的离心率的取值范围为

C．直线斜率的取值范围为

D．直线斜率的取值范围为

【答案】AC

【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.

【详解】解：设为的中点，根据重心性质可得，

因为，则，

因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，

故有，解得，

当直线斜率不存在时，的中点在轴上，

故三点不共线，不符合题意舍，

设直线斜率为，设，

所以，，

因为在双曲线上，所以，

两式相减可得：，

即，

即有成立，

即有，因为不共线，

即，即，即，

所以的离心率的取值范围为，

因为

，

因为，即，

所以，

所以.

故选：AC

【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：

（1）设出点的坐标；

（2）根据中点坐标建立等式：，；

（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；

（4）将，及代入等式中即可得出关系.

12．关于函数，则下面四个命题中正确的是（   ）

A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增

C．函数没有最小值 D．函数的最小值为

【答案】BC

【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.

【详解】由，定义域为，且，则，

当和时，，

故函数在上单调递减，故A错误；

当时，，故函数在上单调递增，故B正确；

当时，，当时，，

作出其大致图像如图：

由图像可知函数没有最小值，故C正确，D错误，

故选：BC

三、填空题

13．用排成无重复数字的三位偶数的个数为     

【答案】

【分析】可以看作是3个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从3个偶数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上排列即可.

【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有3种，其它位数的排列数为，即这样的数有个，

故答案为: .

14．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，若上存在两点，，使为等边三角形，则      ．

【答案】13

【分析】根据题意可求出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到点的坐标，进而利用抛物线的定义即可求解.

【详解】设在第一象限，由对称性知直线的方程为．

由，得，即．

因为的准线为，所以．

故答案为：13.

15．数列满足，前12项和为243，则           .

【答案】7

【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.

【详解】解：，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列的前项和为，

，即，解方程得.

所以，

故答案为：.

16．已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是          ．

【答案】

【分析】切点为，则求导后可得斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图像交点的个数，结合图像即可得出答案．

【详解】设切点为．由可得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线为：，

因为切线过点，所以，

即，即这个方程有三个不等根即可，

切线的条数即为直线与图像交点的个数，

设，

则

由可得，由可得：或，

所以在和上单调递减，在上单调递增

当x趋近于正无穷，趋近于0，当x趋近于负无穷，趋近于正无穷，

的图像如下图，且，

要使与的图像有三个交点，则．

则m的取值范围是：．

【点睛】方法点睛：由函数过某点处的切线条数求参的一般方法如下:

（1）首先设切点，求导得切线斜率；

（2）切线方程为：；

（3）代入点构建方程；

（4）利用函数与方程的思想处理由方程解的个数求参.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)求A；

(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)

(2)见解析.

【分析】（1）根据正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；

（2）对于条件①可得，进而或，不符合题意；

条件②代入，即可求出，再利用面积公式即可求出结果.

【详解】（1）在中，，

由及正弦定理得，

由余弦定理得，

化简得，所以，

结合，得．

（2）若增加条件①：，．

因为，

由，得，或，

所以不能唯一确定，不合题意．

若增加条件②：．

将代入，

得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．

由，得．

所以．

19．已知数列的前项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式．

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）方法一：由之间关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得；

方法二：由已知关系式可证得数列为等比数列，由此可推导求得，利用之间关系可求得；

（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.

【详解】（1）方法一：当时，由得：，即，

又，；

当时，，

又，满足，即当时，成立，

数列是以为首项，为公比的等比数列，.

方法二：由得：，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

即，

当时，，

又满足，.

（2）由（1）得：，

.

20．如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，进而利用面面垂直的判定证明平面平面.（2）以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【详解】（1）取的中点O，连接AO，．

∵与均是边长为2的正三角形，

∴，，．

∴为二面角的平面角．

∵，

∴．

∴，又，， 平面，

平面，又平面，

∴平面平面.

（2）由（1）知，，，．

以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．

则，，，．

，，．

设平面的一个法向量为．

由得

令，得．

设平面的一个法向量为．

由得

令，得．

∴．

∴所求锐二面角的余弦值为．

21．已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求C的方程；

(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.

（2）当的斜率不存在时，到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．根据直线与圆相切得到，求出中垂线得到到中垂线的距离为，再利用基本不等式即可得到答案.

【详解】（1）由题知：，解得.

所以的方程为．

（2）当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．

当的斜率存在时，设，，．

因为与圆相切，则到的距离为，所以．

联立方程，得，

则，可得的中点为．

则MN的中垂线方程为，即．

因此到中垂线的距离为

（当且仅当，时等号成立）．

综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．

22．已知函数，．

(1)当时，证明：在上恒成立；

(2)若有2个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可；

（2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解.

【详解】（1）当时，设，

则，设，

由函数和在上单调递增，

知函数在上单调递增，且，

所以当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，

所以

即在上恒成立；

（2）由，得，令，

则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，

令，得，

当时，当时，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

故，且当时，，

当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，

作出函数的大致图象如下：

结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，

故a的取值范围是．