2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数定义域求出，再根据交集定义即可求出．

【详解】因为，解得，且，

所以，

所以，

故选：A．

2．已知，则（    ）

A． B．0 C． D．1

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算计算求模即可.

【详解】设，则，故，解之得，

所以.

故选:A

3．已知向量，且，则实数（    ）

A．2 B．6 C．8 D．10

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】由，可得，即，解得．

故选：D．

4．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可.

【详解】记数列为，设，

则，，，，，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

，.

故选：C.

5．某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出有一名主任医生被选派以及两名主任医师都被选派的概率，根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】记“选派3名男医生和2名女医生，有主任医生被选派”为事件A，

则，

记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B,

则，

故选：D

6．分别为双曲线的左，右焦点，过的直线与双曲线左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义以及可得边的关系，结合余弦定理即可求解.

【详解】由题意得，

设，则，

在中，由勾股定理得，解得，则，

在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，

故选:A.

7．记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由求得，使用整体换元法求得的范围， 根据在上恰有3个零点列出满足的不等式关系求解即可.

【详解】因为的最小正周期为T，所以．

又，所以，

当时，，

由在上恰有3个零点，得，

解得．

故选：A

8．已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等体积法及几何关系求出关于动点Q的等式关系 ，根据相关几何意义即可求出动点Q形成轨迹的周长.

【详解】设内切球O的半径为R，则，∴．

如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF．

根据等体积法得，

∴，整理得，又，

解得，．∴，，．

在中，．

∴点Q在以点F为圆心，为半径的圆上，其周长为．

故选：C．

二、多选题

9．若，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.

【详解】依题意，令，

对于A，，A错误；

对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；

对于C，，，

所以，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC

10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（    ）

A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种

B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种

C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种

D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

【答案】BC

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.

【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；

对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；

对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；

对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.

故选：BC

11．下列式子中值为的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据诱导公式、辅助角公式、两角和与差的正切公式化简各选项即可.

【详解】对于A，；

对于B，；

对于C，；

对于D，由，

所以.

故选：ACD.

12．已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（    ）

A．周长的最小值为14

B．四边形可能是矩形

C．直线，的斜率之积为定值

D．的面积最大值为

【答案】ACD

【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时， 周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断.

【详解】由，可知P，Q关于原点对称.

对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确；

对于B.因为，所以，

则，故椭圆上不存在点，使得，

又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确.

对于C.由题意得，设，则，

所以.故C正确；

对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．的展开式中的系数为      .（以数字作答）

【答案】-80

【分析】根据二项式定理计算中的即可.

【详解】原式等于，

设的通项为，而中没有项，

故时，，

即项的系数为.

故答案为：-80

14．中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开期间，将含甲、乙在内的8名工作人员平均分配到两个省代表厅从事服务工作，则甲、乙两人不分在同一省代表厅的概率为      ．

【答案】

【分析】先求基本事件总数，然后求满足事件发生的事件数，最后利用古典概型概率求解即可.

【详解】将8人平均分配到2个省代表厅的安排方法数为种，

其中甲、乙两人不在同一个省代表厅的方法数为种，

所以所求的概率为．

故答案为：.

15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤        次才能达到市场要求(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．

【答案】8

【分析】设原有溶液a，由此表示出杂质含量，再求出经过n次过滤后的杂质含量，建立不等式，求解作答.

【详解】设原有溶液a，则含杂质2%a，经过n次过滤，含杂质，

因经过n次过滤后杂质含量不超过0.1%，则，即，

，而，则

所以至少应过滤8次.

故答案为：8

16．已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是          ,

【答案】

【分析】构造，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围.

【详解】令，则，故为R上的偶函数，

当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

等价于，

即在上恒成立．

所以，平方后化简得到．

由一次函数性质可得，

解得，即，

故a的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：

比如：若，则构造，若，则构造，

若，则构造，若，则构造.

四、解答题

17．在中，，，边中线.

(1)求的值；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出的值；

（2）由余弦定理得出，最后由面积公式得出的面积．

【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得

因为，所以，因为，所以.

（2）因为，，可知为等腰三角形.

在中，由余弦定理可得

即，解得.

所以的面积为.

18．已知数列的前项和为，且满足

(1)的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据作差得到，从而得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式；

（2）由（1）可知，利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为①，

当时，则，

当时②，

①②得，即，

则，所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.

（2）因为，所以，

所以③，

④，

③④得

，

所以.

19．如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.

(1)求的长度；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）利用垂直关系得，再结合勾股定理，即可求解；

（2）分别求平面和的法向量，根据二面角的向量公式，即可求解.

【详解】（1）由平面，平面，得，

在矩形中，由，，知，

设，则，，

故，，

由勾股定理：，

解得：，

的长度为1；

（2）因为，，，

且平面，所以平面，

结合知，两两互相垂直，故以点为原点，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，所以

，，，，，，

所以，，，，

设为平面的一个法向量，所以，

取，则，

设为平面的一个法向量，所以，

取，则，

记所求二面角大小为，为钝角，则，

所求二面角的大小为.

20．小明参加学校组织的党的二十大知识竞赛，一路过关斩将，与小李一同进入冠亚军争夺赛.根据以往比赛经验，每局比赛小明先答题获胜的概率为，后答题获胜的概率为.现有两种比赛规则供选择：①三局两胜制，即先获胜两局者赢得比赛，②五局三胜制，即先获胜三局者赢得比赛.每局比赛只有胜败两种结果，采用抽签决定谁先答题，谁先答题可选择赛制规则，接下来的一局轮换先答题.已知小明抽到先答题.

(1)若采用三局两胜制，设每局比赛获胜者得2分，败者得-1分，表示比赛结束时小明的总得分，求的分布列和数学期望；

(2)假如你是小明，选择哪种比赛规则，获得冠军的机会更大，并说明理由.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)选择五局三胜制，理由见解析

【分析】（1）由题意的可能取值为，应用独立乘法公式、互斥事件加法求对应概率，进而写出分布列并求期望；

（2）求出不同比赛规则下小明获得冠军的概率，比较大小即可得结论.

【详解】（1）的可能取值为，

，

，

，

，

故的分布列为

所以.

（2）由（1）采用三局两胜制，小明获得冠军的概率为.

采用五局三胜制，小明获得冠军的概率为

，

因为，

所以选择五局三胜制，小明获得冠军的机会更大.

21．已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

【答案】(1)

(2)经过定点，定点为

【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解、、即可；

（2）使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，得到、两点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定点坐标.

【详解】（1） 椭圆 的一个顶点为，焦距为，

， 解得，

椭圆 的方程为 .

（2）在直线 上，则点 ，

由 ，得 ，

由 ,得 ，

，

，

，

，

直线过定点 .

【点睛】（1）利用椭圆的基本性质，结合椭圆的定量关系可求得所要的椭圆方程；

（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，这样得到直线上两点，写出直线方程，化为点斜式的方程，可得到直线所过的定点.

22．已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)若，是函数的两个极值点，且，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）因参数在函数的位置特殊，考虑到参数变化时，函数定义域在变化，导函数的零点也在变化，所以比较时候需要兼顾零点在不在定义域上，也需要考虑零点之间的大小比较.

（2）对含参的双变量问题，核心在于消元，本问通过，，之间的关系，把证明转化为求函数的单调性问题，在结合函数的单调性即证.

【详解】（1）易知函数的定义域为.

又.

当时，在上单调递增，在上

单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在和上

单调递减；

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在和上单

调递减.

（2）由，则

，由题意知是方程的两根，

因此，，，且，.

所以，

把，代入得

要证，只需证明，

即，

也即.

令，，由，得.

设，要证.

因为，，在上单调递减，

所以，，即证.

【点睛】思路点睛：（1）求含参函数单调区间，需考虑导函数零点与定义域的关系，不同零点直接的大小，依次分类即可.

（2）对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个 变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.