2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得的值，然后计算即可.

【详解】由题意可得，则.

故选：A.

2．对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为，则是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（      ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】D

【分析】根据相关系数的定义以及充要条件的判断进行分析.

【详解】因为，但不确定的正负情况，

所以不能推出第一组变化量和第二组变量相关度；

若第一组变量比第二组变量相关强度强，则，

所以是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3．将5名学生分配到，，，，这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到社区，则不同的分配方法种数是（    ）

A．72 B．96 C．108 D．120

【答案】B

【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析甲的安排数目，②剩下的4人安排到其余4个社区，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①学生甲不能分配到社区，则甲有4种安排方法，

②剩下的4人安排到其余4个社区，则有种分配方法，

则有种分配方法，

故选：B

【点睛】方法点睛：排列组合的问题，常用的求解策略有：简单问题原理法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知灵活选择方法求解.

4．如果，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】结合已知中，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论．

【详解】，，

，即，故错误；

，，，故错误；

当，，故错误；

，，，故正确，

故选：．

【点睛】本题是不等式基本性质的综合应用，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键，属于基础题．

5．如图，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（      ）

A．样本相关系数r变小

B．残差平方和变大

C．决定系数变大

D．解释变量x与响应变量 y的相关性变弱

【答案】C

【分析】根据题意，结合散点图与相关系数，残差平方和以及决定系数的定义，即可得到结果.

【详解】由散点图可知，去掉点后，与的相关性变强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小.

故选：C

6．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是男医生”，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是男医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可

【详解】由已知得，，

则.

故选：C

7．下列说法错误的是（    ）

A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强

B．若随机变量服从两点分布，且，则

C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5

D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

【答案】D

【分析】对于A，由越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强，

越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，可判断正确；

对于B，由两点分布的期望与方差公式，和，可判断；

对于C，由对数的运算性质可求c，k的值；

对于D，由回归直线相关知识可判断.

【详解】A：，，，因此A正确．

B：由题可知： ，，．因此B正确．

C：对两边同时取对数，得到，

设，则，即，，因此C正确．

D： 回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此D错误．

故选：D

8．已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知的值域是的值域的子集，所以求出两函数的值域，再根据子集的关系列不等式组，从而可求出的取值范围.

【详解】因为，，

所以在上递减，在上递增，

所以的最小值为，

因为，，所以的最大值为，

所以的值域为，

因为在上递增，

所以的值域为，

因为对，使得，

所以是的子集，

所以，解得，

即的取值范围

故选：D

二、多选题

9．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（    ）

A．最大值为1 B．有最大值4

C．的最大值为2 D．的最小值为9

【答案】AC

【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；

，当且仅当时取等号，有最小值4，故B错误；

因为，则，当且仅当时取等号，故C正确；

对于D，，当且仅当时取等号，故D错误．

故选：AC．

10．对于离散型随机变量，它的数学期望和方差，下列说法正确的是（    ）

A．是反映随机变量的平均取值 B．越小，说明越集中于

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果.

【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；

由期望和方差的性质可得，，，即C正确，D错；

故选：ABC.

11．下列命题中，正确的命题是（      ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

【答案】BCD

【分析】利用二项分布的期望和方差公式列出关于的方程，解方程即可判断A；根据排列数和组合数的计算公式计算即可判断B；利用正态分布图像的对称性即可判断C；由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式，求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断D.

【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，故选项A错误；

对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，

，，

因为，,所以有，即

解得，故选项B正确；

对于选项C：随机变量服从正态分布，则图像关于轴对称，若，则，即，故选项C正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，

当时，对应的概率，

所以当时，，

由，解得，

因为，所以且，

即时，概率最大，故选项D正确．

故选：BCD.

12．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，第一次从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为，第二次从盒子中任取2个球，设其中新球的个数为随机变量，则（      ）

A．的所有可能取值是3，4，5 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】求出的所有可能取值及对应的概率，求出期望可判断A、B；根据条件概率公式可判断C；根据全概率公式可判断D.

【详解】由题意得，的所有可能取值是3，4，5，故A正确；

，，，

则，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．命题“，”的否定是      .

【答案】，

【分析】由存在量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题“，”为存在量词命题，

该命题的否定为“，”.

故答案为：，.

14．设随机变量的概率分布列为则         .

【答案】

【详解】解：由题意知，，解得；解方程得，或，

则.

故答案为: .

【点睛】本题考查了分布列的性质.本题的关键是结合分布列的性质求出参数的值.

四、双空题

15．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则     ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为         . (附：若随机变量服从正态分布，则，，)

【答案】     3     0.1359

【分析】直接由密度函数解析式可得的值，再由与原则求解长度误差落在内的概率.

【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度内的概率为：

.

故答案为：；.

16．定义：在等式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则（1）三项式的2次系数列各项之和等于      ；（2）      .

【答案】     0     -20

【分析】（1）根据次系数列的定义，令即可得系数之和．

（2）根据定义得为的系数，然后进行计算即可．

【详解】解：（1）三项式的2次系数列为，

则令得三项式的2次系数列各项之和等于，

（2）当时，三项式为，则为的系数，

，

的通项公式为，的通项公式为，

的系数为．

即

故答案为：；；

【点睛】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力，属于中档题．

五、解答题

17．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)已知，求数列的前20项和.

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后与原式作差，即可得到结果；

（2）根据题意，由分组求和即可得到结果.

【详解】（1）当时，可得，

当时，，

，

上述两式作差可得，

因为满足，所以的通项公式为.

（2）因为，

所以，

.

+=5

所以数列的前20项和为5.

18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且．点在棱上，点为中点．

(1)证明：若，则直线平面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证得平面，平面，由面面平行的判定与性质可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得所求角的余弦值，由余弦值可求得正弦值.

【详解】（1）在上取一点，使得，连接，

，，又平面，平面，

平面；

，，，

，，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

，平面，平面平面，

平面，平面.

（2）由题意知：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，平面与平面所成

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

平面与平面所成角的正弦值为.

19．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是．

参考公式： .

附表：

(1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？

(2)若从这人中的女性员工中随机抽取人参加一活动，记爱好运动的人数为，求的分布列、数学期望．

【答案】(1)列联表见解析，认为爱好运动与否与性别没有关系

(2)分布列见解析，

【分析】（1）先完善列联表，根据题干附注公式计算，对比附注表格的临界值，然后得出结论；

（2）人中，女性人，按照步骤写出分布列中的每一条概率值，然后得到期望.

【详解】（1）由30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是，故爱好运动的员工共有16人，由表中男爱好运动的员工为10人，可得女爱好运动的员工有6人，

故列联表补充如下：

零假设为：爱好运动与否与性别没有关系.

由已知数据可求得：

，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受，即认为爱好运动与否与性别没有关系；

（2）的可能取值为，由于女性有人，爱好活动的人，

，

，

所以的分布列为：

的数学期望为：

.

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)设椭圆方程，将点代入求；

(2)将直线方程与椭圆方程联立得，将用两点间距离公式化为 ，用直线将转化为，代入韦达定理计算得定值.

【详解】（1）因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则，

故可设椭圆C的方程为，

因为点在椭圆C上，所以，

解得，所以椭圆C的方程为．

（2）设，因为直线l方向向量，所以直线l的方程设为，

由得(*)

设，，则、是方程(*)的两个根，

所以有，，

所以

(定值)．

所以为定值．

21．已知函数.

(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；

(2)若时，存在两个极值点、，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；

（2）由（1）知：、满足，，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用导数证明出对任意的恒成立即可.

【详解】（1）解：因为，则，

因为函数在上单调递减，则对任意的，，

即，可得，

设，则，

当时，，所以，单调递增，则，故，

即实数的取值范围是．

（2）证明：由（1）知：、满足，则，

不妨设，则．

则，

则要证，即证，

即证，也即证成立．

设函数，则，

所以，在单调递减，又．

故当时，，

所以，，即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：

（1）求投资额关于满意度的相关系数；

（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）

参考数据：，，，，.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.

【答案】(1)0.72；(2)

【分析】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得的值，即可求解；

（2）由（1）可知，得投资额关于满意度没有达到较强线性相关，利用公式求得的值，即可得出回归直线的方程.

【详解】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得.

（2）由（1）可知，因为，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，

所以要“末位淘汰”掉K敬老院.

重新计算得，，

，

，

所以，

.

所以所求线性回归方程为.

【点睛】本题主要考查了回归分析的应用，同时考查了回归系数的计算，以及回归直线方程的求解，其中解答中利用公式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.