2022-2023学年黑龙江省鸡西市鸡冠区鸡西实验中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省鸡西市鸡冠区鸡西实验中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集或，则＝（    ）

A．或 B．或

C． D．{0，1，2，3，4，5，6}

【答案】D

【分析】根据集合的并运算即可求解.

【详解】由于或，所以，

故选：D

2．设命题p：，使得，则为（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，都有 D．，都有

【答案】C

【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】为，都有.

故选：C

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的概念求解.

【详解】由，得，即，

但若，取，则不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件；

故选:A.

4．的展开式中含项的系数为（    ）

A． B．24 C． D．16

【答案】B

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的展开式中含的项为，系数为.

故选：B

5．已知全部是正项的等比数列的前项和为，若，则其公比为（　　）

A．3 B．﹣1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】设公比为，根据条件列出方程求解即可．

【详解】设该等比数列的公比为，

由可得，，

即，又等比数列每一项均是正数，于是，

由可解得.

故选：D

6．已知，且，则实数a的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a．

【详解】∵，

∴，

，

，

．

故选：D．

7．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：）

A．16 B．10 C．8 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.

【详解】因为数学成绩，所以，因此由

所以有，

估计该班数学得分大于120分的学生人数为，

故选：C

8．中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ）

A．450种 B．72种 C．90种 D．360种

【答案】A

【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.

【详解】由题知，6名航天员安排三舱，

三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为的三组，共有种；

第二种：分人数为的三组，共有种；

所以不同的安排方法共有种.

故选：A.

二、多选题

9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）

A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数

C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点

【答案】AC

【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.

【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间上，有极大值为，C选项正确.

在区间上，是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

10．对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（    ）

A．若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B．变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强

C．用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

D．用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为

【答案】BCD

【分析】利用回归直线的相关知识可判断A选项；利用相关系数与线性相关程度的关系可判断B选项；利用残差平方和与模型的拟合效果的关系可判断C选项；利用相关指数与回归模型的拟合效果的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，若两变量、具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，A错；

对于B选项，若变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强，B对；

对于C选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C对；

对于D选项，用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为，D对.

故选：BCD.

11．已知随机变量X服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是（    ）

A．随机变量X的数学期望 B．

C．随机变量X的方差 D．随机变量Y的方差

【答案】AC

【分析】利用服从二项分布，

则有，，

可判断出选项ABC的正误；利用时，，即可判断出选项D的正误.

【详解】因为X服从二项分布，

故，，故选项A，C正确；

又，故B选项错误，

又，则，故选项D错误.

故选：AC.

12．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（    ）

A．数列的最小项为第项 B．

C． D．时，的最大值为

【答案】ABC

【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.

【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；

对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；

对于D选项，因为，，

所以，满足的的最大值为，故D错误；

对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；

当且时，，

所以，当且时，，

当且时，，

当且时，.

由题意可知单调递减，

所以当且时，，

由题意可知单调递减，即有，

所以，

由不等式的性质可得，

从而可得，

因此，数列的最小项为第 项，故A正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．若，则      .

【答案】4

【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可.

【详解】由题意知，

因为，

所以或，

解得(舍去)或.

故答案为：4

14．已知，则          .

【答案】-1

【分析】令，代入即可得出答案.

【详解】令，得，所以.

故答案为：-1.

15．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为      ．

【答案】0.625/

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，

则，，，

．

故答案为：0.625．

16．已知在区间上不单调，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】求出函数的导函数，根据在区间上不单调，即函数在上有零点，即方程在上有解，分离参数，从而可得出答案.

【详解】解：因为函数在区间上不单调，

所以在上有零点，

即方程在上有解，

即在上有解，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2022届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知从这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．

(1)请将上述列联表补充完整；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联．

附：

【答案】(1)表格见解析

(2)能认为喜欢游泳与性别有关联

【分析】（1）根据抽到喜欢游泳的学生的概率求得喜欢游泳的学生人数，由此补全列联表.

（2）计算的值，由此作出判断.

【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，

所以喜欢游泳的学生人数为．

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

（2）零假设为：喜欢游泳与性别无关联

根据列联表中的数据得：．

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

所以，能认为喜欢游泳与性别有关联.

18．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：

(1)依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；

(2)建立关于的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．

参考公式：．

参考数据：．

【答案】(1)，说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系

(2)12.8万件

【分析】（1）先计算出、的平均值，再结合相关性系数的参考公式计算即可，根据数值得到相关性强弱，

（2）根据公式，计算出关于的回归方程，将代入回归方程即可得到结果.

【详解】（1）由题条件得，

．

，

，

．

与的相关系数近似为，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．

（2），

关于的线性回归方程为．

当时，．

∴当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．

19．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．

(1)求，，

(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)，

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；

（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.

【详解】（1）方法一：

由题意可得：，

“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，

因为，，

所以，

故．

方法二：，

“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，

故．

（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，

，，

，，

X的分布列：

X的数学期望.

20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；

（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法

平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

则，，

，则，解得，故；

[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结．因为底面，且底面，所以．

又因为，，所以平面．

又平面，所以．

从而．

因为，所以．

所以，于是．

所以．所以．

 [方法三]：几何法+三角形面积法

   如图，联结交于点N．

由[方法二]知．

在矩形中，有，所以，即．

令，因为M为的中点，则，，．

由，得，解得，所以．

（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面的法向量为，则，，

由，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，

所以，，

因此，二面角的正弦值为.

[方法二]：构造长方体法+等体积法

  如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．

联结，由三垂线定理可知，

故为二面角的平面角．

易证四边形是边长为的正方形，联结，．

，

由等积法解得．

在中，，由勾股定理求得．

所以，，即二面角的正弦值为．

【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.

（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.

21．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）18.

【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知函数，．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求的零点个数；

(3)若有两个零点，，证明：．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，根据几何意义求解即可；

（2）根据题意得，单调递减，，单调递增，故，再根据和讨论函数值的分布求解即可；

（3）结合（2）得，，，使得，进而将问题转化为证明，再根据在上单调递减只需转化为证，再结合证明，再构造函数，再研究函数的单调性得在上恒成立，进而证明.

【详解】（1）解：求导得，

所以，，

故切线方程是：；

（2）解：由已知，，

所以当，，单调递减，

，，单调递增，

，

当时，趋近于时，函数趋近于，且，趋近于时，函数趋近于，此时函数只有一个零点，

当时，当趋近于时，函数趋近于，趋近于时，函数趋近于，此时函数有2个零点；

（3）解：由（2）知，，，使得，

，要证，即证，

，，

又且在上单调递减，

需证，即证，

，

即证，

故令，即，

∴，

∵时，，所以，即，

∴函数在上单调递增，

∵，∴在上恒成立，

，得证，

．

【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第三问解题的关键在于结合极值点偏移问题，将问题转化为证明，，进而构造函数，研究函数的单调性证明.