黑龙江省大庆市大庆实验中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题

大庆实验中学2022—2023学年度第二学期高二4月月考

数学试题

第I卷（选择题，共60分）

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.

1.北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（    ）

A.16种    B.36种    C.48种    D.60种

2.将6个人（含甲乙两人）平均分成3组，则甲乙不在同一组的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲､乙､丙三人，要求每人至少1本画册或图册，则不同的分法共有（    ）

A.90种    B.93种    C.96种    D.99种

5.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师､4位学生进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第位发言的是学生”，则（    ）

A.    B.

C.    D.

7.绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好，现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者，若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（    ）

A.228    B.132    C.180    D.96

8.若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（    ）

A.2    B.    C.    D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.

9.在二项式展开式中，下列说法正确的是（    ）

A.第三项的二项式系数为20    B.所有项的二项式系数之和为64

C.有理项共有4项    D.常数项为第五项

10.20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知，下列结论正确的有（    ）

A.

B.

C.

D.

12.某校共有东门､西门､北门三道校门.由于疫情防控需要，学校安排甲､乙､丙､丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是（    ）

A.若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法

B.若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法

C.若甲､乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法

D.若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法

第II卷（非选择题，共90分）

三､填空题：本题共4小题，每空5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法__________.

14.袋中装有编号为1，2，.，10的10个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，2号球被取出的概率为__________.

15.设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为，若，则的展开式中，的系数为__________.

16.若存在直线与函数的图象都相切，则实数的最大值为__________.

四､解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分.把答案填在答题卡的相应位置.

17.已知数列和数列满足：，，，.

（1）求证：为等差数列，为等比数列；

（2）若，求数列的前项和.

18.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B.

（1）求，，

（2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.

19.已知数列的前项和为，满足：

（1）求证：数列为等差数列；

（2）令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

20.已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围.

21.张先生到一家公司参加面试，面试的规则是；面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰.

（1）求张先生通过面试的概率；

（2）记本次面试张先生回答问题的个数为，求的分布列及数学期望

22.已知函数.

（1）若在上的最大值为，求实数的值.

（2）若存在两个零点，.

①求实数的取值范围；

②证明：.

四月月考参考答案

一､单选题

1.B    2.C    3.B    4.B    5.C    6.C    7.B    8.D

二､多选题

9.BCD    10.BCD    11.AD    12.ABD

三､填空题

13.1560    14.    15.60    16.1

四､解答题

17.（1），①

，②

①+②得，

∴是以为首项，公差为0的等差数列.

①-②得，

∴是以为首项，公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，③；，④；

∴由③④得，.

由题得

∴，令，的前n项和为

∴，⑤

，⑥

由⑤-⑥得：

∴

∴.

18.（1）方法一：

由题意可得：，

“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，

因为，，

所以，

故.

方法二：，

“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，

故.

（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，

，，

，，

X的分布列：

X的数学期望.

19.解：（1）由题设，，则，

所以，整理得，则，

所以是以1为首项，4为公差的等差数列，即，

所以.

（2），则，

所以，且，

所以，即，

所以，在且上递减，则，

要使对任意恒成立，即，

所以.

20.（1）∵，∴，∴，

∴，

，

∴在点处的切线方程为，

即.

（2）由题意，

若函数在R上单调递增，则，

因为，即在R上恒成立，

令，，

令，得

故当时，，单调递增，

当时，，单调递减

故在取得最小值，且，

要使，则在R上恒成立，

所以，即，

故实数的取值范围是.

21.（1）解：记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件，则，张先生前三个问题均回答正确为事件；前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件，前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件.则

根据题意，得

因为事件互斥，所以

即张先生能够通过面试的概率为

（2）根据题意，

表明前面三个问题均回答错误（淘汰）或均回答正确（通过），

所以

表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误（淘汰），或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确（通过），

所以

表明前面四个问题中有两个回答错误､两个回答正确，

所以

所以的分布列为：

故

22.（1）设，，则，所以在上单调递增，

所以当时，.

易知，

令，则.

设，则，

若，则当时，，单调递增，无最大值，

即在上无最大值，不合题意；

若，令，得，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

所以当时，，

所以，解得.故实数的值为.

（2）①由（1）知，在上单调递增，

所以存在两个零点，等价于在上存在两个零点，，其中，.若，则，在上单调递增，至多一个零点，不合题意；

若，令得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

要使存在两个零点，则，解得.

当时，，

设，，

因为，所以在上单调递增，所以，

又，所以在和上各存在一个零点.

所以实数的取值范围是.

②由①知，

要证，只需证，只需证，只需证，只需证.

不妨设，则，，，

故只需证.

设，，

因为，

所以在上单调递增，所以，

所以，则，所以.