2022-2023学年陕西省西安市蓝田县高二上学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市蓝田县高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．下列结论中不正确的个数是（    ）

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

②命题“，”是全称量词命题；

③命题，，则，.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由全称量词命题和存在量词命题的定义，存在量词命题的否定，判断命题的真假.

【详解】①中命题含有全称量词，是全称量词命题，①不正确；

②中命题含有全称量词，是全称量词命题，②正确；

命题，，则，，③不正确.

有2个命题不正确.

故选：C

2．设，则“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由包含关系判断即可.

【详解】不等式：，所对集合为，不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．在中，，则的值为（　　）

A． B．0 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.

【详解】在中，角所对的边分别为，，

由正弦定理得，令，

由余弦定理得：.

故选：A

4．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出可行域，根据目标式的几何意义，应用数形结合法判断求最值时所过的点，即可得范围.

【详解】由题设可行域如下图示，

目标式表示在在平移过程中，与可行域有交点情况下在x轴上的截距，

由图知：目标函数过和的交点时有最小值，过和交点时有最大值，

所以，故取值范围为.

故选：C．

5．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数和对数函数性质判断命题的真假，再判断或且非命题的真假.

【详解】由指数函数性质可知，恒成立，命题为假命题；

由对数函数性质可知，时，，命题为真命题.

则为假命题；为假命题；为假命题；为真命题.

故选：D

6．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】利用抛物线定义即可求解.

【详解】抛物线可化为，焦点为，准线方程,

点的纵坐标为,由抛物线定义知：，解得：.

故选：B

7．若均为正数，且，则的最小值等于（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】因为均为正数，且，

所以，，当且仅当时等号成立，

所以，的最小值等于.

故选：B

8．如图所示,在四面体中,,,,点在上,且,为的中点,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】连接,再根据空间向量加法和减法的三角形法则即可得出．

【详解】解:由题知,连接,画图如下:

是的中点,

,

,

,

.

故选:B

9．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由长方体性质确定线面角且求，进而求出长度.

【详解】根据长方体性质知面，故为直线与平面所成的角的平面角，

所以，则，可得，如下图示，

所以在中，符合题设.

故选：B

10．已知双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（    ）

A．或

B．或

C．或

D．或

【答案】D

【分析】先根据焦点位置，设出，利用距离求出，结合渐近线的方程可得答案.

【详解】若焦点在轴上，设焦点，因为双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，

所以，解得，即；

因为，所以，此时方程为；

若焦点在轴上，设焦点，，解得，即；

因为，所以，此时方程为；

故选：D.

11．在棱长为3的正方体中，平面与平面之间的距离为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，所以转化为点到平面之间的距离，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得答案.

【详解】因为，平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面平面，

所以平面与平面之间的距离可以转化为点到平面之间的距离，

以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，

，，，，，，

设平面的法向量为，

所以，即，令，则，，，

所以点到平面之间的距离为，

即平面与平面之间的距离为.

故选：C.

12．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定，代入椭圆方程得到，解得答案.

【详解】，，，则，，

故，即，解得（舍去负值），

故选：B

二、填空题

13．已知数列的递推公式为，则           .

【答案】54

【分析】根据递推公式逐一赋值即可求解.

【详解】由数列的递推公式得.

故答案为：54.

14．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是       ．

【答案】

【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，

又或，，

所以，即；

故答案为：

15．如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是         ．

【答案】

【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值.

【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图，

设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2），

∴=（，0，2），=（0，1，2），

设，的夹角为，

则异面直线AF与DE所成角的余弦值是．

故答案为：.

16．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为               .

【答案】

【分析】根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式即得.

【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，

由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，

则，

因此，，又，

所以，该双曲线的离心率为取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；

（2）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出椭圆的长轴端点和焦点坐标，得双曲线的，计算出后可得标准方程；

（2）由抛物线的焦半径公式求得值得抛物线方程．

【详解】解：（1）椭圆的长轴端点为，焦点为，

设所求双曲线方程为，则，所以

所以所求双曲线方程为；  

（2）由抛物线定义知，所以

所以抛物线的方程为

18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

(1)求A；

(2)若，且的面积为，求b，c．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）面积公式结合余弦定理可得．

【详解】（1）根据正弦定理，

变为，即，

也即，

所以．

整理，得，即，所以，

所以，则．

（2）由，，得．

由余弦定理，得，

则，所以．则．

19．已知递增的等差数列中，，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据等差数列定义以及等比中项的性质求得首项及公差即可;(2)采用裂项相消法即可.

【详解】（1）（I）设递增的等差数列的公差为，首项为，

因为，所以①  

又成等比数列，所以，即.②

联立①②解得，故.

（2）由(1)知，则，

故

所以

20．如图，在直三棱柱中，，，.

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据直棱柱的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，

所以平面，平面，所以.

又，，

平面，所以平面.

因为平面，所以.；

（2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，

令，得.

设平面的法向量为，

则，

令，则，

所以.

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21．如图1，在直角梯形中，为的中点，将沿折起，使，如图2，连接.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明，得到平面，得到面面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，再计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）交于点，故平面，

又平面，故，交于点，

故平面，平面，故平面平面.

（2）平面，过作平面的垂线为轴，以为原点，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.

设，则，

解得，，

，，

设平面的法向量，则有，

取，

设平面的法向量，则有，

取，

，

根据观察知，二面角的平面角为锐角，故二面角的大小是.

22．已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.

【答案】(1)

(2)，此时直线的方程为：.

【分析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；

(2) 过点的动直线的方程为：，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可.

【详解】（1）由题意得,解得：，

椭圆的方程是：.

（2）设，

联立消去得：

由题意可知：点,

所以

令，则，所以，

，易知在单调递增，

所以当，此时，所以直线的方程为：.