2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市第三高级中学等2校高二上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市第三高级中学等2校高二上学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省营口市大石桥市第三高级中学等2校高二上学期期末数学试题

一、单选题
1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ）
A．16 B．32 C．1 D．
【答案】A
【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.
【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，
所以，令得展开式中各项系数的和为．
故选：A
2．设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质计算可得；
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，所以由正态分布的对称性可知，，.
故选：D.
3．随机变量的分布列如下表所示：

1
2
3
4

0.1

0.3

则（    ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．
【详解】解：由分布列的性质可得，，可得，
所以．
故选：C．
4．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则（    ）
第0行                        1
第1行                    1        1
第2行                1        2        1
第3行            1        3        3        1
第4行        1        4        6        4        1
第5行    1        5        10        10        5        1
…            …                …                …
A．220 B．186 C．120 D．96
【答案】A
【分析】根据题意，由杨辉三角与二项式系数的关系及组合数性质可解.
【详解】
.
故选：A.
5．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.
【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为
因为切线过点P(2，2)，所以
因为与圆相切，所以
故选：C
6．某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（    ）
A．18种 B．36种
C．54种 D．60种
【答案】C
【分析】根据题意，分只有甲乙其中一人参加、甲乙两人都参加2种情况讨论可得答案.
【详解】若只有甲乙其中一人参加,有种情况；
若甲乙两人都参加,有种情况，
则不同的发言顺序种数36+18=54种，
故选：C.
7．设A，B为两个事件，已知，，，则（    ）
A．0.24 B．0.375 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答.
【详解】由，，得，
所以.
故选：B
8．某企业为了研究某种产品的销售价格（元）与销售量（千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：

16
12
8
4

24
a
38
64
其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为：，则缺失的数据a是（    ）
A．33 B．35 C．34 D．34.8
【答案】C
【分析】由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将样本中心点坐标代入可求得结果.
【详解】因为点一定在回归方程上，
所以将，代入
解得.
故选：C.

二、多选题
9．已知样本数据的平均数是，方差为，则样本数据的（    ）
A．平均数是 B．平均数是
C．方差是 D．方差是
【答案】AC
【分析】根据平均数和方差的运算性质直接求解即可.
【详解】由题意知：，，
，，即的平均数为；
，，即的方差为.
故选：AC.
10．在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩的统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占，仅第一次得优的占，仅第二次得优的占，则（    ）
A．已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为
B．已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为
C．某同学两次均未得优的概率为
D．某同学两次均未得优的概率为
【答案】AC
【分析】记表示“第一次数学成绩得优”，表示“第二次数学成绩得优”，可得出，，，利用条件概率公式以及全概率公式以及对立事件的概率公式可判断各选项的正误.
【详解】设表示“第一次数学成绩得优”，表示“第二次数学成绩得优”，
则，，，
所以，
，
，A对B错，
，C对D错.
故选：AC.
11．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（    ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；
对于B选项，设点、，设线段的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，，故，B对；
对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，
，解得，由韦达定理可得，，
，解得，
点到直线的距离为，故，C对；
对于D选项，设线段的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，
所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.
故选：BCD.
12．一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（    ）
A．若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为
B．若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为
C．若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为
D．若从盒中随机不放回任取2个球，若其中一个球是白球，则另一个也是白球的概率为
【答案】ABD
【分析】从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，分别求出其概率可判断A、C；由古典概型的概率可判断B；由条件概率的公式可判断D.
【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为，取到的球颜色相同的概率为，所以A正确；
从盒中随机不放回任取2个球，则有种取法，取到的球颜色不同有种，所以，颜色不相同的概率为，所以B正确；
从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：，所以其中有白球的概率为，所以C不正确；
从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件，另一个也是白球为事件，则，所以D正确.
故选：ABD.

三、填空题
13．的展开式中x2的系数为 ．
【答案】84
【分析】把（1+3x）6和（1﹣x）3分别利用二项式定理展开，可得（1+3x）6（1﹣x）3的展开式中x2的系数．
【详解】（1+3x）6（1﹣x）3＝[1+3x+（3x）2+ +（3x）6]（1﹣3x+3x2﹣x3），
故它的展开式中x2的系数为1×3+6×3×（﹣3）+×9＝84，
故答案为：84．
14．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为 .
【答案】
【分析】4名干部分到三个县按比例分有种方案，甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有种，根据古典概型即可求解甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率．
【详解】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有种方案，
其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有种
所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为
故答案为：
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点．若，且，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据题意设，则，由双曲线的定义可用和表示，由勾股定理可求出和之间的关系，在中可计算，在中，由余弦定理列方程即可得出和之间的关系，即可求解.
【详解】
因为，设，则，（）
由双曲线的定义可得：，
，
则，
因为，所以，
即，整理可得，解得：，
所以，，，，
在中，，
在中，由余弦定理可得：

即
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：
（1）直接利用公式；
（2）利用变形公式；
（3）根据条件列出关于、的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.
16．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则 .
【答案】
【解析】依题意画出数形图，即可求出的分布列，即可求出数学期望；
【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：

则的分布列如下：

0
1
2
3





故.
故答案为：
【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图.

四、解答题
17．已知点在圆上运动，，点为线段的中点．
(1)求点的轨迹方程
(2)求点到直线的距离的最大值和最小值．
【答案】(1).
(2)最大值为5，最小值为3.

【分析】（1）用和表示出的坐标代入圆的方程即可求得的轨迹方程；
（2）利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用圆心到直线的距离加或减半径即可求得最大和最小值．
【详解】（1）解：设点，，
因为点是的中点，所以，
则，，即，
因为点在圆上运动，
则有，
所以点的轨迹方程为；
（2）解：由（1）知点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，
点到直线的距离，
故点到直线的距离的最大值为，最小值为．
18．高三（1）班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢中国古典文学
不喜欢中国古典文学
合计
女生

5

男生
10


合计


50
已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；
参考公式及数据：，其中．
















【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关，理由见解析.
【分析】（1）通过古典概型概率计算公式进行计算，由此填写列联表.
（2）通过计算的值，由此作出判断.
【详解】（1）依题意从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为，
所以中国古典文学的学生有人，不喜欢中国古典文学有人，由此填写列联表如图所示：

喜欢中国古典文学
不喜欢中国古典文学
合计
女生
20
5
25
男生
10
15
25
合计
30
20
50
（2），
故有的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.
19．在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DFAE＝1，N为BE的中点.M为CD的中点，
    
(1)求证：FN∥平面ABCD；
(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；
(3)求点A到平面MNF的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到，显然平面ABCD的法向量可以为（0，0，1），所以，即，即可得证；
（2）平面MNF的法向量为，平面MFD的法向量可以为（0，1，0），代入公式即可求解；
（3）由（2）知平面MNF的法向量为（2，1，2），又，代入公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，
  
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
E（0，0，2），N（1，0，1），M（1，2，0），F（0，2，1），
所以，显然平面ABCD的法向量可以为（0，0，1），
所以，即，又NF⊄平面ABCD，所以NF∥平面ABCD；
（2）因为，
设平面MNF的法向量为（x，y，z），则，
令y＝1，则x＝z＝2，所以，
显然平面MFD的法向量可以为（0，1，0），
设二面角N﹣MF﹣D为，由图可知二面角N﹣MF﹣D为钝角，
则，
所以二面角N﹣MF﹣D的余弦值为；
（3）由（2）知平面MNF的法向量为（2，1，2），
又，设点A到平面MNF的距离为d，
则，
所以点A到平面MNF的距离为．
20．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如下表所示：
年份
2017
2018
2019
2020

2
3
4
5

24
37
47
52
（1）通过散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）
（2）求关于的回归方程；
（3）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．
参考数据：．
参考公式：相关系数，，．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）到2023年沙漠治理面积可突破80万亩.
【分析】（1）利用公式求得，根据其意义得出结论；（2）代入公式求得，从而求得线性回归方程；（3），代入线性回归方程求得结果后即可得出结论.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
，
，
所以．
因为与的相关系数非常接近1，说明与的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（2），
所以关于的回归方程为．
（3）当时，，
当时，，
所以到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．
21．一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为.现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”.
（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）依据题设条件运用分类计数原理求解；（2）求出随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式求解：
试题解析：
解：（1）设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有人”， ；
表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有人”， .
依题意有，，，，
所求的概率为 .
（2）的可能值为0,1,2,3，
其分布列为

∵，
∴数学期望.
22．已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)；
(2)24，或.

【分析】（1）利用离心率及给定的点求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，求出弦中点坐标及弦长，再求出点T的纵坐标并列式，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）椭圆E：的离心率e，则，即，又，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，，设直线l的方程为，，
由消去x并整理得：，则，，
，
线段MN的中点，则线段的中垂线方程为：，
令，得，即点，，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取得最小值24，此时直线l的方程为或.
【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点，间的距离；
直线l：x=my+t上两点，间的距离.