2022-2023学年陕西省商洛市高二上学期期末数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省商洛市高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据命题否定的定义选出选项即可.

【详解】解：由题知命题“，”，

所以该命题的否定为：“，”.

故选：C

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式后由交集的概念求解

【详解】由题意得或，

故选：B

3．已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ）

A．8 B．4 C．2 D．4

【答案】B

【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.

【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，

故长轴长为2=4．

故选：B.

4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理可得，将数据代入可得：，再利用大边对大角即可求解.

【详解】因为，所以.

因为，所以.

故选：.

5．已知p：，则p的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据必要不充分条件的定义判断求解.

【详解】对于A，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

对于B，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；

对于C，由推不出，反之也不行，

所以“”是“”的既不充分不必要条件，故C错误；

对于D，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误；

故选:A.

6．若双曲线（）的渐近线与圆相切，则m=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的标准方程，求得渐近线方程，根据圆的一般方程，利用配方法，整理标准方程，求得圆心与半径，结合直线与圆相切的性质，建立方程，可得答案.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由圆，整理可得，可得圆心为，半径为2，

则，得．

故选：B.

7．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可.

【详解】因为，

由，所以，

由，所以，

所以，即的取值范围是.

故选：B.

8．在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．-2

【答案】C

【分析】根据四点共面的性质进行求解即可.

【详解】因为5=t+2+3=t+2+3（-），

所以8=t+2+3，即=++．

因为M是平面ABC上一点，所以++=1，所以t=3．

故选：C

9．北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（    ）

A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米

【答案】A

【分析】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法可求出结果.

【详解】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），

依题意可得，

设该抛物线的方程为，

将A的坐标代入，得,

所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.3米.

故选：A

10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）

A． B．43 C． D．41

【答案】A

【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.

【详解】设，则，

因为为等比数列，

所以，，仍成等比数列．

因为，所以，

所以，故．

故选：A.

11．设A是函数图象上一点，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义可求出结果.

【详解】设，则，

则函数的图象是双曲线的一部分.

因为，所以，是双曲线的焦点，

则，又，所以.

故选：B

12．已知是数列的前n项和，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据变形得到，然后分别求出以及即可.

【详解】因为，所以当时，.因为，所以.当时，

，两式相减得.因为，

所以.因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，

所以，所以

所以，，

所以.

故答案为：

二、填空题

13．在中，内角的对边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为_______.

【答案】

【分析】先求出，再根据正弦定理即可得外接圆的半径.

【详解】解：因为，，所以，

在中由正弦定理可得：，解得：.

故答案为：

14．若正实数、满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为正实数、满足，

所以.

当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

15．在正方体中，，，则异面直线BE与所成角的余弦值为______.

【答案】

【分析】以D为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，得，，利用空间向量的夹角公式可求出结果.

【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，

因为，，所以，，

所以，，

所以，

故异面直线BE与所成角的余弦值为.

故答案为：

16．已知命题：双曲线的渐近线方程为，命题：双曲线的离心率大于2，命题：方程有实数解，现有下列四个命题：①；②；③；④.其中所有真命题的序号为_______

【答案】①②④

【分析】根据双曲线的方程命题和即可，根据零点存在定理判断命题，然后根据逻辑联结词判断①②③④即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为，所以命题是真命题；

双曲线的离心率，所以命题是真命题；

设，；

所以方程有实数解，命题是真命题；

所以①②④为真命题，③为假命题；

故答案为：①②④

三、解答题

17．已知抛物线是抛物线上的点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程；

（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程.

【详解】（1）由题意，

在抛物线中，，

由几何知识得，

，

解得：，

故抛物线的方程为：.

（2）由题意及（1）得，

直线的斜率存在，设直线的斜率为，

则，

两式相减得，

整理得，

因为的中点为，

∴，

∴直线的方程为：，

即，经检验，满足题意.

18．已知等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)若为正项等比数列，，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，即可求出通项作答.

（2）求出等比数列的通项公式，再利用错位相减法求解作答.

【详解】（1）在等差数列中，，解得，而，

则等差数列的公差，

所以的通项公式是.

（2）设正项等比数列的公比为，，解得，而，

则有，解得，

，由（1）知，，

则，

于是得，

两式相减得：，

所以数列的前项和.

19．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.

(1)求角A；

(2)若D为AB的中点，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求出A的值；

（2）由余弦定理得出c的值，再求△ABC的面积．

【详解】（1）因为，所以，

所以，

所以，

即，

因为，所以，所以，

因为，所以.

（2）在中，由余弦定理得，即，

所以解得或.

当时，；当时，.

20．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．

(1)证明：BC⊥C1E．

(2)设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；

（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值．

【详解】（1）以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，,

所以=，=，

所以·=2×2+0+2×=0，

所以⊥，故BC⊥C1E；

（2）因为=，=，

所以=+=+λ=，

设平面BB1M的法向量为，

则，令x=1+λ，则，

因为=，

所以C1到平面BB1M的距离，

解得．

21．如图，在直三棱柱中，，，且二面角为为45°.

(1)求棱AC的长；

(2)若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由图及题意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的长；

（2）建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.

【详解】（1）因平面ABC，平面ABC，则.

又，，平面，平面，

则平面.又平面，则，

故是二面角的平面角，则.

又，则.

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.可得，，，.

设平面的法向量为，则，

取，得.

设平面的法向量为，则，

取，得

由，得平面与平面的夹角为60°，

故平面与平面的夹角的正切值为.

22．法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

【答案】(1)-=1

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线与双曲线联立消，求出韦达定理的表达式，根据DG⊥EF求出的关系式，代入直线即可求出定点H.

【详解】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，

所以a2-b2=1，所以b=2，

故双曲线C的标准方程为-=1，

（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，

联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，

则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，

且

因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，

所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9

=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，

化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，

所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0

当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，

当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）

当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，

联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．

因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．

故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.

【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.