2022-2023学年重庆市长寿区高二上学期期末数学试题（A卷）含答案

2022-2023学年重庆市长寿区高二上学期期末数学试题（A卷）

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.

【详解】的斜率为，故倾斜角为.

故选：B

2．若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ）

A．2或0 B．1 C．0 D．0或

【答案】C

【分析】根据题意结合直线平行运算求解，注意检验防止出现重合.

【详解】若直线与直线互相平行，

则，解得或，

当时，直线与直线平行，符合题意；

当时，直线与直线重合，不符合题意；

综上所述：.

故选：C.

3．在等比数列中，，，则（    ）

A．3 B． C．9 D．

【答案】A

【分析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程求出，从而可求出.

【详解】设等比数列的公比为，

因为，，

所以，解得，

所以，

故选：A

4．下列椭圆中最接近于圆的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出各选项中椭圆的离心率，根据椭圆离心率与圆的关系可得出结论.

【详解】因为椭圆的离心率为，

对于椭圆而言，若椭圆的离心率越接近于零，则该椭圆越接近于圆.

对于A选项，椭圆的离心率为，

对于B选项，椭圆的离心率为，

对于C选项，椭圆的离心率为，

对于D选项，椭圆的离心率为，

因为，故D选项中的椭圆越接近于圆.

故选：D.

5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（    ）

A．561 B．595 C．630 D．666

【答案】D

【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律得出结果.

【详解】由题意，第一层个球，第二层个，第三层个，第四层个，

据此规律，第三十六层有小球个.

故选：D

6．已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意作出图形，利用三角形的面积公式及点到直线的距离公式即可求解.

【详解】依题意，如图所示

则，

，

∴即时，面积最大，

此时圆心到直线的距离为,

,解得，

又，

故选：B.

7．已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出圆的圆心，的长，设出直线的解析式，令直线和抛物线联立即可求出直线的斜率.

【详解】由题意，

在圆中, ，圆心, 半径为1,

在抛物线中，焦点为，

∴圆的圆心为抛物线的焦点，

∵圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，

∴为圆的直径，即，

∵成等差数列，则，

解得：，

∵直线过，两点是过圆心点的直线与抛物线交点，

设的方程为,，

联立和，并化简得：，

∴，

∴，

∴，解得：，

故选：D.

8．如图，在棱长为2的正方体中，，，，，均为所在棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．棱上一定存在点，使得

B．设点在平面内，且平面，则与平面所成角的余弦值的最大值为

C．过点，，作正方体的截面，则截面面积为

D．三棱锥的外接球的体积为

【答案】C

【分析】对于A，建立空间直角坐标系，由数量积判定即可；对于B，先确定M的位置，由空间中的线面关系计算即可；对于C，由平面的性质确定截面图象，计算正六边形的面积即可；对于D，确定球心及球半径计算即可.

【详解】  

如图所示建立空间直角坐标系，

对于A项，可设，而，

∴，

令，故A错误；

如图所示，取中点T、S，连接，易证面面，则M在线段ST上，连接，

由正方体特征可知与平面所成角为,

且，显然越大越大，，故B错误；

如图所示，取中点Y，顺次连接EPGSFY，易知面EPGSFY为该截面，且是正六边形，

如图，设正六边形的中心为O，连接OS、OG、OP、OE、OY、OF，则将正六边形分割为六个正三角形，

故，故C正确；

对于D项，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z，过Z作ZN⊥面EPH，

交面于N，则N为的中心，三棱锥F-EPH的外接球球心Q在直线ZN上，

设球半径为，，

则，

故.

故选：C

二、多选题

9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时， D．当或5时，取得最大值

【答案】CD

【分析】根据表达式及时，的关系，求出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误.的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当时，，又，

所以，则是递减数列，故A错误，B错误；

当时，，故C正确；

当时，因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，

且或5时距离对称轴一样远，所以当或5时，取得最大值，

又，所以当或5时，取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（    ）

A． B．

C． D．直线与所成角的余弦值为

【答案】ACD

【分析】选项A，由空间向量的线性运算法则，即可判断；选项B，将两边平方，再结合数量积的运算法则，即可得解；选项C，计算，得解；选项D，先计算可得，再由，即可解得.

【详解】选项A，，即正确；

选项B，

，则，即错误；

选项C，

即选项C正确；

选项D，

，解得，

所以，即D正确.

故选：ACD.

11．已知圆，直线过点，且交圆于，两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为8

B．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是

C．使为整数的直线共有11条

D．若点S为圆上任意一点，则的最小值为

【答案】AD

【分析】根据直线与圆的关系，结合圆的性质逐一判断选项对错即可.

【详解】因为圆的圆心，半径，

因为，即点T在圆O内.

对于选项A：当时，取到最小值，故A正确；

对于选项B：若圆上仅有三个点到直线的距离为5，

则圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，

此时圆心到直线的距离，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

此时圆心到直线的距离，解得，

即直线的方程为；

综上所述：满足条件的直线的方程为或，故B错误；

对于选项C：因为的最大值为，最小值为8，

所以为整数共有11种可能，

结合对称可知：最短弦与最长弦有唯一性，其余均有两条，

所以满足条件的直线共有条，故C错误；

对于选项D：若点S为圆上任意一点，则的最小值为，故D正确；

故选：AD.

三、单选题

12．双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与双曲线交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴上，对、在双曲线的同支或两支进行分类讨论，设过作圆的切线切点为，利用锐角三角函数的定义、双曲线的定义得到或，结合双曲线的离心率公式即可得解.

【详解】情况一：、在双曲线的同一支，

依题意，不妨设双曲线的焦点在轴上，过作圆的切线，设切点为，

过点作垂直于直线，垂足为点，

由圆的几何性质可知，

因为，所以在双曲线的左支，

由题意可得，， ，

设，因为，则，

因为为的中点，，，则，且为的中点，

且，，

所以，，则，

由双曲线的定义可得，

所以，，可得，

此时，该双曲线的离心率为；

情况二：若、在双曲线的两支，不妨设双曲线的焦点在轴上，

过作圆的切线，设切点为，

因为，所以在双曲线的右支，

过点作，垂足为点，

由圆的几何性质可知，且，，

所以，，

因为，则，又因为为的中点，则为的中点，

所以，，，

设，因为，则，

所以，，则，

由双曲线的定义可得，

又因为，可得，则，

此时，双曲线的离心率为.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

四、填空题

13．经过点且与直线垂直的直线方程是        ．（用一般式表示）

【答案】

【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用待定系数法求解作答.

【详解】设与直线垂直的直线方程为，

于是，解得，

所以所求的直线方程为.

故答案为：

14．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是      ．

【答案】1

【解析】求出右焦点坐标， 渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由知：， ，所以 ，即，

右焦点 ，其中一条渐近线，

所以右焦点到渐近线距离为，

故答案为：1

【点睛】本题组要考查了双曲线的基本性质，焦点到渐近线的距离等于，属于基础题.

15．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为        ．

【答案】

【分析】根据题意,存在实数使得等式成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.

【详解】点在平面内,

存在实数使得等式成立,

,

，解得.

故答案为：

五、双空题

16．已知数列的前项和为，且满足，若，则        ；若使不等式成立的最大整数为10，则的取值范围是        ．

【答案】         

【分析】根据题意利用累加法可得.空1：直接代入运算求解即可；空2：利用等差数列求和公式可得，根据题意结合二次函数列式求解即可.

【详解】因为，则，

当时，

，

所以，

且当时，符合上式，所以.

空1：若，则；

空2：因为，

所以数列是以首项为，公差为的等差数列，

可得，

令，整理得，

由题意可知：满足上式的整数的最大值为10，

可得，解得，

即的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】关键定睛：累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．

六、解答题

17．已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.

(1)求圆的方程；

(2)求过点的圆的切线方程.

【答案】(1)选择见解析，

(2)或

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；

（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可.

【详解】（1）选择①：联立，解得，所以，

设圆的方程为，

因为，，三点均在圆上，

所以，解得，

所以圆的方程为，即；

选择②：直线的方程可化为，

因为上式恒成立，所以，解得，

所以直线恒过定点，且为圆心，

所以，

所以圆的方程为；

选择③：设圆的方程为，

由题可得，解得，

故圆的方程为；

（2）因为，所以点P在圆E外，

①若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为5，满足题意；

②当直线斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为，

即，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，

所以，所以直线的方程为，

综上可得：过点的圆的切线方程为或.

18．如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】（1）证明：取中点，连接、，

因为、分别为、的中点，则且，

因为四边形为矩形，则且，

因为为的中点，所以，且，

所以，且，故四边形为平行四边形，故，

因为平面，平面，因此，平面.

（2）解：因为平面，底面为矩形，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，令，可得，

因为，故点到平面的距离为.

19．已知双曲线经过点，．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知点，过点的直线与双曲线交于不同两点，，若直线，满足，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设双曲线方程为，再将，两点的坐标代入方程中列方程组可求，从而可求出双曲线的方程；

（2）①当直线的斜率不存在时，求出，的坐标，再求是否为零，②当直线的斜率存在时，设，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，再由可求出的值即可.

【详解】（1）设双曲线方程为，

∵，两点在双曲线上，

∴，解得，

∴双曲线的方程为，

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨令，，

∴，

∴不成立，舍去．

②当直线的斜率存在时，设，

由，得，

∵，得 ，

设，，

∴， ，

∵，，

∵以为直径的圆经过点，

∴，

∴，

即，

∴，

∴，

∴或，符合题意，

∴直线的方程为或.

【点睛】关键点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求法，解题的关键是将转化为，从而可求出直线方程，考查计算能力，属于较难题.

20．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．

(1)求证：；

(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量求面面夹角.

【详解】（1）取中点，连接，，

在和中，，，，

可得，则，所以，

因为，且，平面，

所以平面，

且平面，所以.

（2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，，

由（1）得平面，且平面，所以，

且，平面，所以平面，

在中，，，

由余弦定理可得，即，

在中，，

在中，，

在中，，可得，，

则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

可得，，，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，即，

设平面的法向量为，则，

令，则，，即，

设平面与平面的夹角，

可得，

所以平面与平面的夹角的余弦值.

21．已知数列的前项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，0.

【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列的性质，再求出其通项公式作答.

（2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再结合数列不等式恒成立求解作答.

【详解】（1）数列的前项和为，，当时，，两式相减得：

，即有，而，即，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，

，

则，

两式相减得：，

于是得，显然，，

假设存在实数，使得对任意，恒成立，

则存在实数，使得对任意恒成立，即，成立，

当为正偶数时，，当为正奇数时，，从而，

所以存在实数，使得对任意，恒成立，的值为0.

22．1.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为2．

(1)求椭圆的方程；

(2)如图，动直线：交椭圆于A，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，，是的两条切线，切点分别为S，．求的最小值及的最大值．

【答案】(1)

(2)的最小值为2，的最大值为

【分析】（1）利用离心率与焦距的条件，求出与的值，进而求出椭圆的方程；（2）先用韦达定理表达出的长，然后利用比例关系，表达出的长，再利用解方程表达出的长，表达出，换元法求出的最小值，利用圆的切线性质求出的最大值，进而求出的最大值

【详解】（1）由题意知，，∴，，

∴椭圆的方程为：

（2）设，，联立方程

得

由题意知，，

∴

∴圆的半径

联立得：

∴，，∴

又，∴，∴

令，则，

∴

当即时等号成立

∴，∴

综上所得：的最小值为2，的最大值为

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．