2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二下学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．若满足，且为纯虚数，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算得出，结合纯虚数的定义即可得出答案.

【详解】

∴

故选：D．

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及纯虚数的定义，属于基础题.

2．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则逐项判断即可．

【详解】对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项错误；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项正确．

故选：D．

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】积分所表示的几何意义是以为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．

【详解】表示的几何意义是：

以为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，.

故选：A

4．有一散点图如图所示，在5个数据 中去掉后，下列说法正确的是（    ）

A．相关系数r变小 B．残差平方和变小

C．变量x，y负相关 D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱

【答案】B

【分析】根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A, 去掉后，相关性变强，相关系数r变大，

对于B,残差平方和变小，故B正确，

对于C，散点的分布是从左下到右上，故变量x，y正相关，故C错误，

对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，故D错误，

故选：B

5．展开式中项的系数为160，则（    ）

A．2 B．4 C．－2 D．

【答案】C

【分析】在展开式的通项公式中，令得项的系数，令其等于160即可求出的值.

【详解】展开式的通项公式为，

令，得项的系数为，

依题意，得.

故选：C

6．用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于时”，应假设

A．四个内角都大于 B．四个内角都不大于

C．四个内角至多有一个大于 D．四个内角至多有两个大于

【答案】A

【分析】对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”，由此得到结果.

【详解】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于”，即反证法时应假设：四个内角都大于

本题正确选项：

【点睛】本题考查反证法的假设，关键是明确至少问题的否定的形式，属于基础题.

7．随机变量ζ的分布列如下图，若则（    ）

A．6 B．2 C．0 D．

【答案】A

【分析】根据随机变量的数学期望与方差的定义求解即可．

【详解】解：由题意可得，，即，

解得，

∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查随机变量的数学期望与方差的应用，属于基础题．

8．7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（    ）种.

A．56种 B．84种 C．112种 D．28种

【答案】A

【分析】就两个笔筒分别放置2，5；3，4分类讨论后可求不同放法的种数.

【详解】如果两个笔筒放置笔的数目为2,5，则共有种放法；

如果两个笔筒放置笔的数目为3,4，则共有种放法；

故共有种，

故选：A.

9．数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设向左移动次数为，分析出其服从二项分布，再计算即可.

【详解】此实验满足6重伯努利实验，设向左移动次数为，则，

根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次，

则，

故选：C.

10．如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（    ）

A．函数在上的图象越来越陡 B．1不是函数的极值点

C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增

【答案】C

【分析】根据导函数的图象及导函数与原函数之间的关系，对选项逐个判断即可．

【详解】观察导函数的图象可知，导函数在上单调递增，

所以函数在上的图象越来越陡，A正确；

观察导函数的图象可知，在1的左、右侧导函数值均为正，所以1不是函数的极值点，B正确；

由图知，所以在处切线的斜率大于零，C不正确；

在，，所以函数在是单调增函数，D正确.

故选：C．

11．某校从4名女生和2名男生中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法求解即可.

【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数，

在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，

则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.

故选：B.

12．若函数存在极值，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知，函数在定义域上存在极值点，令可得，换元，可得，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，由此可求得实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，且.

由题意可知，函数在定义域上存在极值点，

由可得，令，则，

则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，

对于二次函数，当时，，

对于二次方程，即，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

二、填空题

13．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为       .

【答案】(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6

【分析】将n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.

【详解】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5

＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6

＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.

∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，

∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.

故答案为：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6

14．已知随机变量服从正态分布，若，则            .

【答案】0.1/

【分析】根据正态密度曲线的对称性，即可求解.

【详解】由条件可知，，正态分布密度曲线关于直线对称，根据对称性可知，

.

故答案为：

15．由下列事实：

，

，

，

.

……

可得到第个等式合理的猜想是  .

【答案】

【分析】根据所给等式的特征归纳总结写出第个等式即可.

【详解】根据所给信息知：各等式的左边两因式中，一项为，另一项每一项的次数均为，而且按照字母的降幂排列，

所以，第个等式为.

故答案为：.

16．一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使          最小.①总偏差平方和；②残差平方和；③回归平方和.

【答案】②

【分析】根据最小二乘法的定义，即可判断.

【详解】根据最小二乘法的定义，回归方程是为了使残差平方和最小.

故答案为：②

三、解答题

17．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

(1)若从年龄在[70，80）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；

(2)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表（填写在答题卡上），并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

参考数据：，其中n＝a＋b＋c＋d．

【答案】(1)

(2)列联表见解析，有

【分析】(1) 由古典概型的概率公式求得；

(2)根据题意填写2×2列联表，由此算出，对照临界值表，即可得出结论.

【详解】（1）因为年龄在[70，80）之间抽取的人数为5，有意向购买的人数为2，

从5人中抽取2人的所有基本事件为共种，其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有种，故所求概率为

（2）由题意填写2×2列联表为

所以，

所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．

18．已知函数.

(1)若函数在点处的切线倾斜角为，求a的值；

(2)若在上单调递增，求a的最大值.

【答案】(1)1

(2)2

【分析】（1）先对进行求导，根据题意可得，即可得出a的值.

（2）由题意可转化为在上恒成立，分离参数得，令

，利用求导得出，进而得出a的最大值.

【详解】（1），

函数在点处的切线倾斜角为，则有，

∴；

（2）由在上单调递增，可得在上恒成立.

即在上恒成立，

令，

，

解得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以当时，取得最小值为，

∴，即a的最大值为2.

19．某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：

该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；

(Ⅱ)已知选取的是1月与6月的两组数据.

(1)请根据2到5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想?

(参考公式和数据：

)

【答案】（1）（2）该协会所得线性回归方程是理想的.

【详解】试题分析：（Ⅰ）本问考查古典概型概率问题，首先确定试验的基本事件空间，从6组数据任意选取2组，所有基本事件为

共15个，易知选取的两个月是相邻的共有5个，所以可以求出概率；（Ⅱ）（1）根据2月到5月的数据，计算出，再根据题中给出的参考数据和计算公式，经过计算，可以求出关于的回归直线方程；（2）分别将，代入到所得的回归直线方程中，求出相应的值，并分别与表格中给出的对应值对比，如果，则可认为回归直线方程是理想的，否则是不理想的.

试题解析：(Ⅰ)设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为,每种情况都是可能出现的，

其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种

所以，则.

(Ⅱ)(1)由数据求得,，

由公式求得，，

所以，所以关于的线性回归方程为.

(2)当时，，；

同样，当时，，.

所以，该协会所得线性回归方程是理想的.

20．在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若 ，求：

(1)求n；

(2)展开式中的常数项.

【答案】(1)6

(2)15

【分析】（1）如选①，根据二项式系数的前三项的和，列式求；若选②，根据二项式系数的和，以及所有项系数的和，列式求；

（2）根据二项展开式的通项公式求常数项.

【详解】（1）选①：由题意得，

即，

解得或（负值舍去）；

选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0.

由，即，

解得

（2）展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），

令，解得，

则常数项为.

21．某运动员射击一次所得环数的分布列如下：

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．

（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2

【分析】（1）先计算两次命中8环，9环，10环的概率，然后可得结果.

（2）列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果.

【详解】（1）两次都命中8环的概率为

两次都命中9环的概率为

两次都命中10环的概率为

设该运动员两次命中的环数相同的概率为

（2）的可能取值为8，9，10

，

，

，

的分布列为

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，重在于对随机变量的取值以及数学期望的公式的掌握，属基础题.

22．已知函数.

(1)当时，求证：；

(2)证明：在上单调递减；

(3)求证：当时，方程有且仅有2个实数根.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）令，利用导数研究函数的单调性，即可得证；

（2）对求导，可得时，，即可得证；

（3）设，对求导，则，借助（2）的结论，结合零点存在性定理证明即可.

【详解】（1）令，

的定义域为，，

当时，，则在上单调递减，

所以当时，，

即当时，.

（2），

，

当时，，则在上单调递减.

（3）设，

，由（2）知在上单调递减，

∵，，

根据零点存在性定理可得；

存在唯一实数使得，

当时，，即则在上单调递增，

当时，，即则在上单调递减，

所以在处取得极大值也是最大值，

∵，，，

∴在和上各有一个零点，

即当时，方程有且仅有2个实数根.