2021-2022学年陕西省西安市蓝田县高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省西安市蓝田县高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据交集的概念即可得结果.

【详解】因为，，

所以，

故选：B.

2．已知圆与圆，则圆与的位置关系是（    ）

A．内含 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】D

【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

因为，

所以两圆相离，

故选：D.

3．下列说法中正确的是（    ）

A．圆锥的轴截面一定是等边三角形

B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C．三棱柱的侧面可以是三角形

D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形

【答案】D

【分析】根据圆锥、棱锥、棱柱和棱台的结构与特征，逐一判断即可.

【详解】对于A，圆锥的轴截面一定是等腰三角形，中有当母线等于底面直径时，轴截面才是等边三角形，故错误；

对于B，只有用一个平行于底的平面去截棱锥，才一定会得到一个棱锥和一个棱台，故错误；

对于C，由棱柱的定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，故错误；

对于D，棱锥为三棱锥时，侧面和底面都是三角形，故正确；

故选：D.

4．一个水平放置的平面四边形采用斜二侧画法得到的直观图是菱形，如图所示，则平面四边形的形状为（    ）

A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．梯形

【答案】B

【分析】直接将直观图进行还原即可得结果.

【详解】将直观图还原得如图：

所以平面四边形的形状为长方形，

故选：B.

5．函数的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】函数∴，

即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除BD

当时，，即函数图象过原点，故排除C ，

本题选择A选项.

6．两条直线与的距离为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】根据两平行线间的距离公式即可得解.

【详解】直线即，

所以与的距离为，

故选：D.

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性即可求解.

【详解】因为，，

所以，又因为，所以，

故选：.

8．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接，，，由正方体的性质可得为的中点且，即为异面直线与所成的角（或补角），再根据为等边三角形，即可得解；

【详解】解：连接，，，由正方体的性质可得为的中点，

由且，所以四边形为平行四边形，

所以，所以即为异面直线与所成的角（或补角），

显然，即为等边三角形，所以，即，

故直线与所成的角为；

故选：A

9．某正方体被截去部分后剩余几何体的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等分析求解.

【详解】由三视图的画法，可得侧视图如下：

故选：B

【点睛】本题主要考查三视图，还考查了空间想象的能力，属于基础题.

10．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可.

【详解】的圆心为,半径，

因为为圆的弦的中点，

所以圆心与点确定的直线斜率为，

因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，

所以弦所在直线的斜率为，

所以弦所在直线的方程为：，

即.

故选：A.

11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.

【详解】A. 若，，，则与相交，平行，故A错误；

B. 若，，则或，故B错误；

C. 若，，则，且，则，故C正确；

D. 若，，，但没注明，所以与不一定垂直，故D错误.

故选：C

12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为瞥臑．已知在瞥臑中，满足平面，且，，，则此瞥臑外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

【详解】由，，，∴，即有，

又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：

图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线，也是外接球的直径，设外接球半径为R，则，

所以瞥臑的外接球表面积为.

故选：B．

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是___________．

【答案】（或）

【分析】先求出直线斜率，再求出直线倾斜角即可.

【详解】设直线的倾斜角为（），

将直线方程化为斜截式得：，

∴该直线的斜率，

∵，

∴.

故答案为：（或）.

14．已知直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距相等，则直线的方程是___________．

【答案】或

【分析】根据截距式方程的两种情况解决.

【详解】当轴上的截距都为零时设的方程为，把点代入得，即，所以的方程为；

当轴上的截距都不为零时，设截距都为，则的方程为，把点代入得

，即，所以的方程为.

故答案为：或

15．已知直线，直线，若直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围为___________．

【答案】

【分析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可.

【详解】由题意得两直线不平行，即，得，

由得，

由于直线与的交点在第一象限，

所以，解得，则实数的取值范围为，

故答案为：.

16．若函数满足，则称为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，所有满足“倒负”变换的函数序号是___________．

①；②；③；④．

【答案】④

【分析】求得的解析式，再与的解析式进行比较即可得到满足“倒负”变换的函数

【详解】①，不符合要求；

②，不符合要求；

③，不符合要求；

④，符合要求

故答案为：④

三、解答题

17．三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边上高线AD所在直线的方程．

【答案】（1）x+2y-4=0 （2）2x-y+6=0

【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；

（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．

【详解】（1）BC边所在直线的方程为：

=，

即x+2y-4=0；

（2）∵BC的斜率K1=-，

∴BC边上的高AD的斜率K=2，

∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），

即2x-y+6=0．

【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题．

18．已知圆，直线．

(1)求圆的圆心坐标和半径；

(2)若直线与圆相切，求实数的值．

【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2．

(2)

【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；

（2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可.

【详解】（1）圆，

圆的标准方程为．

圆的圆心的坐标为，半径为2．

（2）直线与圆相切，

圆心到直线的距离，解得．

实数的值为．

19．如图，是圆柱体的一条母线，为底面圆的直径，是圆上不与，重合的任意一点．

(1)求证：平面；

(2)若，，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)80

【分析】（1）利用线面垂直判定定理即可证明平面；

（2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积．

【详解】（1）点在以为直径的圆上，．

平面，平面，．

又，平面，平面

平面．

（2）在中，，

．

由题意知平面，则为三棱锥的一个高

．

20．为实现“碳达峰”，减少污染，某化工企业开发了一个废料回收项目､经测算，该项目回收成本（元）与日回收量（吨）（）的函数关系可表示为，且每回收1吨废料，转化成其他产品可收入80元.

(1)设日纯收益为元，写出函数的解析式；（纯收益=收入-成本）

(2)该公司每日回收废料多少吨时，获得纯收益最大？

【答案】(1)

(2)当公司每日回收废料吨时，获得纯收益最大为元.

【分析】（1）由题意求出收入，再根据纯收益=收入-成本即可求解.

（2）根据分段函数解析式以及函数的单调性即可求解.

【详解】（1）当时，每日收入为，每日回收成本为，

则日纯收益，

当时，每日收入为，每日回收成本为，

则日纯收益，

故

（2）当时，是单调递增函数，

所以此时时在取最大值，，

当时，，

显然在时，取得最大值，此时，

由，

故当公司每日回收废料吨时，获得纯收益最大为元.

21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、、分别为、、的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【分析】（1）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可；

（2）取中点，连接、，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果.

【详解】（1）证明：∵是平行四边形，、、分别为、、的中点，

∴，，

又平面，平面，平面，平面，

∴平面，平面，

∵，且、平面，

∴平面平面.

（2）解：存在点是线段的中点，使得平面，且.证明如下：

取中点，连接、，

∵、、分别是、、的中点，∴，且，即，

∴，∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面，且.

22．已知函数（，且）．

(1)求的定义域；

(2)是否存在实数，使函数在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)（，且）

(2)存在实数，使函数在区间上的最大值为.

【分析】（1）令求解即可；

（2）根据的不同取值范围，对的单调性进行讨论，并求出区间的最大值，使其等于进行求解即可.

【详解】（1）由题意可得，即（，且），

∴的定义域为（，且）.

（2）∵（，且），

∴设（，且），，当时，单调递减，

假设存在实数，使函数在区间上的最大值为，

①若，当时，函数单调递增，

∴由复合函数的单调性可知，在区间单调递减，

∴当时，取最大值，

即函数的最大值为，

∴，即，解得（舍）或，

当时，，定义域为，，

故满足题意；

②若，当时，函数单调递减，

∴由复合函数的单调性可知，在区间单调递增，

∴当时，取最大值，

即函数的最大值为，

∴，即，，无解.

综上所述，存在实数，使函数在区间上的最大值为.