2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高二下学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】因为全集，集合，所以，

又，所以，

故选：A.

2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先写出复数，再得到其共轭复数.

【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，

所以.

故选：A

3．已知向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，可得，

因为，可得，解得．

故选：C.

4．已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合题设及条件概率公式求条件概率即可.

【详解】若为第次投篮并投中，则，，

所以.

故选：B

5．设是等比数列，且，，则（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据条件，求首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，则

，解得，，

所以.

故选：A.

6．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有（    ）

A．64种 B．48种 C．32种 D．16种

【答案】B

【分析】对选修3门分类讨论再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】当从8门课中选修3门，4门体育类选修课和4门艺术类选修课，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；

综上所述：不同的选课方案共有种.

故选：B.

7．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，

所以到准线的距离为，

又到直线的距离为，

所以，故.

故选：D.

8．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先分别化简 “”和“”，进而得到二者间的逻辑关系.

【详解】由，可得；由，可得；

则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

9．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（    ）

A．，，，的平均数等于，，…，的平均数

B．，，，的中位数等于，，…，的中位数

C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差

D．，，，的极差大于，，…，的极差

【答案】B

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，

则，

因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，

例如：，可得；

例如，可得；

例如，可得；故A错误；

对于选项B：不妨设，

可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；

对于选项C：因为是最小值，是最大值，

则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，

例如：，则平均数，

标准差，

，则平均数，

标准差，

显然，即；故C错误；

对于选项D：不妨设，

则，当且仅当时，等号成立，故D错误；

故选：B.

10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（    ）

A．3.4cm B．3.8cm C．4.0cm D．5.8cm

【答案】C

【分析】先求得盆中水的体积和盆口面积，进而求得这次降雨量的值.

【详解】该圆台形盆的中截面半径为（cm）

盆中水的体积为，

盆口面积为，

则这次降雨量为（cm）

故选：C

11．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（    ）

A．直线与直线异面

B．直线与直线异面

C．直线平面

D．直线平面

【答案】B

【分析】由可得共面即可判断B选项；又面，面，即可判断A选项；由线面平行的判定即可判断C、D选项.

【详解】

由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，

故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直线异面，A正确；

由，平面，平面，则直线平面，C正确；

平面，平面，则直线平面，D正确.

故选：B.

12．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由于，，，构造函数，利用导数判断其单调性，可判断的大小，再构造函数，利用导数判断其单调性，可判断的大小，从而可得结果.

【详解】，，，

令（），则，

所以在上递增，

所以，所以，

即，所以，

令（），则，

因为，所以，

所以在上递减，

所以，所以，

即，即，

综上，，

故选：D

二、填空题

13．已知等差数列的前项和为，若，则        ．

【答案】

【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

14．已知函数，若是偶函数，则      ．

【答案】

【分析】由的奇偶性可得，代入函数解析式列出等式求解，即可求得.

【详解】因为是偶函数，

所以，

，

即，

解得.

故答案为：.

15．若函数在区间只有一个极值点，则实数a的最小值为      .

【答案】4

【分析】求导函数，在区间上只有一个极值点等价于在只有一个异号零点，分离参数，由数形结合求得最值.

【详解】，则，

若在区间上只有一个极值点，则在上只有一个异号零点，

即方程在上只有一个根，

所以在上只有一个解，记，，

作出函数的图象，

由数形结合知，若使函数与在上只有一个交点，

只需，则，所以实数a的最小值为4.

故答案为：4.

三、双空题

16．双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则      ，直线的斜率为      .

【答案】     2    

【分析】先根据双曲线的方程求出和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求出，过作轴于，可求出点的坐标，从而可求出直线的斜率.

【详解】由，得，渐近线方程为，

所以，

所以，，

由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等，

不妨取渐近线，则，

在直角中，，

过作轴于，则，

所以，

所以或，

所以直线的斜率为或，

故答案为：2，

四、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．

(1)求角B的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角后，再由同角关系求解；

（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算．

【详解】（1）∵，

∴．

∵，

∴，可得，

∵，

∴．

（2）∵，，，

∴，即，

∴，

∴．

18．推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频数分布表如下：

(1)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度"与"性别"有关?

(2)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求环保宣传队中女性人数X的数学期望

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.

(2)

【分析】（1）完善2×2列联表，计算，结合临界值表可得结论；

（2）根据分层抽样可知，男性抽3人，女性抽2人，所以X的可能取值有0，1，2，再计算X的各个取值的概率即可得分布列，由期望公式可得期望.

【详解】（1）由题意得完成的2×2列联表如下：

∵，

∴有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.

（2）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人

∴X可取的值为0，1，2，

∴，，.

X的分布列为：

∴.

19．如图，在长方形中，，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证；

（2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可.

【详解】（1）在长方体中，,,，平面，

平面，平面，，

又，可得,，平面，

平面.

平面，.

（2）记交于点，连接，

由（1）得平面，

所以为斜线在平面上的射影，

为与平面所成的角.      

在长方体中，,，

在中，，，    

.

直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点且在第一象限.已知为等腰三角形，且.

(1)求的离心率；

(2)若的周长为10，求点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点三角形各边的关系与间的关系求解即可；

（2）结合（1）根据椭圆的定义可得椭圆方程，再根据等面积法求得的纵坐标，代入椭圆方程即可求得

【详解】（1）由题意可知，，所以，得，即的离心率为；

（2）的周长为，即，

，所以得，所以，所以椭圆方程，

设，则在中，，

所以，得边的高为，

因为在第一象限，所以，得，

代入椭圆方程得，得，所以.

21．已知函数.

(1)当时，求的最大值；

(2)若，，求a的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）代入值，直接求导得，讨论其单调性即可得到最值；

（2）分，和，结合零点存在定理讨论即可.

【详解】（1）当时，，，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以.

（2）由，得，

根据减函数加减函数为减函数的结论易知在上单调递减.

①由（1）可知，当时，，符合题意.

②当时，，，

所以存在时，使得，

故当时，，单调递减，

所以，不符题意，舍去.

③当时，，，

所以存在，使得，

故当时，，单调递减，.

令，则，故在上单调递减，

所以，故，符合题意.

综上所述，a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于对进行分类讨论，当时，在寻找右边界时，需要代入一个特殊的值，即，根据的范围则可判断其符号，再根据零点存在定理和函数单调性证明，从而排除此类情况，当时，依然计算，得到，再构造新函数求出右边的值域即可.

22．已知曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离．

【答案】(1)，

(2)．

【分析】（1）根据消去参数得到曲线的普通方程，再由，将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求出圆心到直线的距离，即可求出弦长.

【详解】（1）由于曲线的参数方程为（为参数），

则消去参数，可得．

由于直线的极坐标方程为，且，，

则直线的直角坐标方程为．

（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为3，

则圆心到直线的距离为，

所以．

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论求解不等式即可；

（2）根据题意得到，从而得到，结合“1”妙用，利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题知：，即

所以，

，

.

综上：，

所以的解集为.

（2），

当且仅当时，等号成立，所以.

所以.

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.