2022-2023学年陕西省西安市蓝田县城关中学高二下学期6月第二次月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市蓝田县城关中学高二下学期6月第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：

要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.

【解析】 复数的几何意义

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．

复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．

复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量.

2．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C.

【解析】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

3．已知向量，且，则m=

A．−8 B．−6

C．6 D．8

【答案】D

【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】∵，又，

∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

4．圆的圆心到直线的距离为1，则

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.

【解析】 圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．

5．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A．24 B．18 C．12 D．9

【答案】B

【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，

从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．

同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．

∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．

故选B．

【解析】计数原理、组合

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．

6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．

【解析】三视图与表面积．

7．若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为

A．x=（k∈Z）

B．x=（k∈Z）

C．x=（k∈Z）

D．x=（k∈Z）

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选B．

【解析】三角函数的图象与性质．

【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．

8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的

A．7 B．12 C．17 D．34

【答案】C

【详解】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；结束循环，输出 ，选C.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

9．若，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析： ，

且，故选D.

【解析】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

10．从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】此题为几何概型．数对落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为，所以．故选C．

11．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为

A． B．

C． D．2

【答案】A

【详解】试题分析：由已知可得，故选A.

【解析】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.

【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.

12．已知函数满足，若函数与图像的交点为则

A．0 B． C． D．

【答案】B

【详解】[方法一]：直接法.

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点，

∴，故选B．

[方法二]：特值法.

由得

不妨设因为，与函数的交点为

∴当时，，故选B．

[方法三]：构造法.

设，则，故为奇函数.

设，则，故为奇函数.

∴对于每一组对称点.

将，代入，即得

∴，故选B．

[方法四]：

由题意得,函数和的图象都关于对称,

所以两函数的交点也关于对称,

对于每一组对称点和，都有.

从而.故选B.

【解析】函数的性质.

【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.

二、填空题

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=   .

【答案】

【详解】试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.

【解析】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

14．α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有        .(填写所有正确命题的编号）

【答案】②③④

【详解】试题分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；

②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；

③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确

④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确

【解析】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系

15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是        ．

【答案】1和3.

【详解】 根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；

 （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；

 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；

 （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；

 又甲说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；这与已知矛盾；

 所以甲的卡片上的数字是和.

16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则       ．

【答案】

【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.

【解析】导数的几何意义

【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．

注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．

三、解答题

17．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前1000项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893.

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得

所以的通项公式为

（Ⅱ）因为

所以数列的前项和为

【解析】等差数列的通项公式、前项和公式，对数的运算

【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.

18．某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23．

【详解】试题分析：

试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故

（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故

又，故

因此所求概率为

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为

【解析】条件概率，随机变量的分布列、期望

【名师点睛】条件概率的求法：

（1）定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；

（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝.

求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求X取每个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值定义求出EX．

19．如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】试题分析：(1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即利用线线垂直进行论证，而线线垂直的寻找与论证往往需要利用平面几何条件，如本题需利用勾股定理经计算得出线垂直（2）一般可利用空间向量的数量积求二面角的大小， 首先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，再根据向量数量积求出两个法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值.

试题解析：(1)由已知得，,又由得，故∥，因此

    ，从而⊥.由得.

由∥得.所以,.

    于是,故.又,而,

    所以平面.

如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

 ，，，，，，，

 .

 设是平面的法向量，

     则，即，可取.

     设是平面的法向量，

    则，即，可取

    于是，

设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

20．已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当时，求k的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，写出A点坐标，并求直线的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由及t的取值范围求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（Ⅱ）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

【解析】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．

21．(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，

(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【详解】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，再构造新函数，用导数法求解.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有最小值，的值域是

【解析】函数的单调性、极值与最值

【名师点睛】求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f （x）的定义域；

（2）求导数f ′（x）；

（3）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）解出相应的x的范围．

当f ′（x）＞0时，f （x）在相应的区间上是增函数；当f ′（x）＜0时，f （x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

于是，.

.

由得，.

所以的斜率为或.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b时，.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【详解】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而

，

因此

【解析】绝对值不等式，不等式的证明.

【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：

（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，， （此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．

（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．